Tu Viện Quảng Đức105 Lynch Rd, Fawkner, Vic 3060. Australia. Tel: 9357 3544. quangduc@quangduc.com* Viện Chủ: TT Tâm Phương, Trụ Trì: TT Nguyên Tạng   

Tản mạn về số Không

11/07/201021:53(Xem: 5483)
Tản mạn về số Không
phat_2 (11)
Có nhiều bài báo, nhiều công trình khảo cứu công phu viết về con số 0 cả từ thế kỷ trước sang đến thế kỷ này. Quả tình, đó là con số kì diệu. Có những câu hỏi tưởng chừng ngớ ngẩn, chẳng hạn, “số không có phải là con số?”, nhưng đó lại là câu hỏi gây nên những trả lời dị biệt, và ở mỗi khuynh hướng tiếp cận khác nhau, những câu trả lời khẳng hoặc phủ định đều có những hợp lý riêng của chúng. Thế nhưng, hầu như ngoài những nhà toán học thì chẳng mấy ai quan tâm đến con số không; có thể nói người ta đã không cần đến nó từ các nhu cầu bình nhật như cân đo đong đếm. 
 
Điều đó cũng tương tự như trường hợp “Tánh Không” của hiện hữu, là khái niệm khó lòng chấp nhận được đối với đại đa số, khi mà phần lớn những tầm cầu khảo sát làm nên văn minh nhân loại đã dựa vào cái có của hiện tượng. Ngay cả người Hy Lạp cổ xưa, nơi xuất phát nền văn minh phương Tây, họ vẫn không có khái niệm “số không”, mặc dù họ rất cần có một con số để chỉ sự vắng mặt của một số vật thể, hay đồ dùng nào đó.

Những khảo cứu gần đây đã chứng tỏ rằng ý niệm về số không (để diễn tả cái “không” hiện hữu) đã xuất hiện từ khá lâu trước Tây lịch, từ Ai Cập, hay từ Trung Quốc; tuy nhiên, rõ ràng nhất, là sự xuất hiện của số không với kí hiệu tròn (0) từ Ấn Độ, trong công trình của nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta, vào năm 628 (Brahmasputha Siddhanta – Sự Khơi Mở Vũ Trụ). Còn trước đó, người ta vẫn không thể xác nhận số 0 trong nền toán học Ấn Độ xuất hiện tự khi nào, mặc dù những xác chứng của ngành khảo cổ học đã cho thấy rằng từ năm 256 trước Tây lịch, số 0 và hệ thống số thập phân đã xuất hiện trên các văn bản bằng đá thời A-dục.

Từ Śūnyam xuất hiện trong các văn bản và trong toán học Ấn Độ khá lâu trước khi ngài Long Thọ (Nāgārjuna) nêu lên thuật ngữ Śūnyatā (Tánh Không) trong luận thuyết của mình. Tùy theo lúc, Śūnyam thường được dịch sang tiếng Anh bằng các từ như Void, Vacant, Empty mà ta có thể hiểu với hai nghĩa thông thường trong Việt ngữ là “giá trị bằng không”, hoặc “không có gì”.

Từ Śūnyam đến Śūnyatā (Tánh Không), người ta đã đi qua một lộ trình dằng dặc từ chỗ nghi ngờ sự hiện hữu đến khẳng định sự tồn tại của “không”, và từ đó, mở ra những chân trời bao la của ý niệm, những chân trời chỉ có thể tiếp cận theo nhiều hướng khác nhau, nhưng không thể một lần nói hết. Ngày nay, Tánh Không luận đã nghiễm nhiên trở thành một luận thuyết đẹp và sâu đến nỗi những trí tuệ siêu việt luôn bị hấp dẫn và họ ngày càng khám phá ra biết bao huyền nhiệm trong mối tương ưng giữa luận thuyết và chiều sâu tâm hồn của những trí tuệ đó, cái chiều sâu không thể định danh, và sâu đến nỗi bất khả diễn bày. 
 
Cũng hoàn toàn tương tự như vậy, từ chỗ không có số 0, bất cần đến nó, nền văn minh Hy-La đã thực sự bị cuốn hút bởi số 0 đến từ phương Đông. Số 0 đó đã tồn tại theo nhiều kí dạng khác nhau, nhưng trải qua nhiều nghiên cứu, nó đã kết hợp với 9 chữ số từ 1 đến 9 để tạo ra một vũ trụ toán học muôn màu. Ngày nay, số 0, hoặc cái không có gì, lại không thể thiếu được cả trong Toán học thuần túy (Pure Mathematics) lẫn trong toán học ứng dụng (Applied Mathematics). Sau khi bị chinh phục bởi hệ thống số của người phương Đông, các nhà toán học phương Tây đã có đủ phương tiện để trí tưởng tượng bay bổng, các công trình lần lượt ra đời như vũ bão.

Trong tác phẩm Brahmasputha Siddhanta đã nói trên, Brahmagupta đã chỉ ra được một số tính chất đẹp mang tính cơ sở của số 0, ngoại trừ tính chất “0 chia 0 bằng 0”, là tính chất mà toán học hiện đại không đồng ý, bởi vì, “0 chia 0 thì không được xác định”. Cho đến nay, ta biết rằng, nhờ số 0, ta định nghĩa được các số nguyên âm, và từ đó, dẫn đến các tập hữu tỉ, thực, phức, nghĩa là toàn bộ các tập hợp số. 
 
Số 0 và vô tận trở thành hai khái niệm đối ngẫu, trên cơ sở, một số hữu hạn chia cho một đại lượng tiến dần đến 0 thì trở thành đại lượng tiến dần ra vô tận (âm hoặc dương).Trong một cách tiếp cận luận thuyết Tánh Không, ta biết rằng, cái không có gì lại hàm chứa cả vô biên. Quả táo rơi ư? Bằng quá nhiều nguyên nhân, mà quả táo tựu thành, bởi có những hoa táo không thành trái ngọt do không thụ phấn, hoặc bởi một cơn trở trời bất thuận, nó đành phải bay vào hư không rồi tan thành từng mảnh nhỏ, chẳng để lại dấu vết gì. Nhưng bởi sự ngẫu hợp của nhiều tác nhân, quả táo đã hình thành. 
 
Từng quả táo đã đi vào đời sống này theo nhiều thể điệu dâng tặng khác nhau, hoặc là món quà làm đẹp trong phòng khách, hoặc trở thành dưỡng chất của loài người, hoặc biến thành thứ rượu ngọt trần gian với khả năng dẫn đến chiến tranh, sáng tạo hoặc tình huynh đệ. Rồi một ngày kia, quả táo xuất hiện trong cái nhìn đăm đăm sâu thẳm của nhà bác học Newton. Cũng chỉ là những quả táo thôi, nhưng bằng chiêm nghiệm lặp đi lặp lại của nhà bác học, quả táo lại trở thành tác nhân khơi mở một thế giới tràn trề. Ấy là, định luật về trọng trường ra đời, đặt cơ sở cho những thành tựu khoa học vĩ đại mà nhân loại phải mang ơn.

Số 0, cái không tồn tại, đem chia cho 0, nghĩa là chia đều cho cái không có gì, thì trở thành cái bất khả tri (không xác định). Tuy nhiên, khi các định nghĩa và tính chất của Giới hạn trong Giải tích học phát triển (vào thế kỉ 18), thì cái không chia không kia tùy nơi, tùy lúc mà trở thành một giá trị hữu hạn nào đó, hoặc thậm chí, là giá trị vô hạn. Hoàn toàn có lý do khi Ankur Barua, trong một tiểu luận nhan đề “Applied Buddhism in Modern Mathematics – Phật giáo ứng dụng trong toán học hiện đại” –, sau khi tham khảo một số sách về lịch sử Toán học, đã viết: “Tánh Không luận của Nāgārjuna đã mở đường cho sự phát triển những khái niệm “không” và “vô hạn” trong toán học hiện đại”.

Số 0 trong toán học, ngay ký dạng tròn của nó đã thể hiện sự tròn đầy, trong toán học, nó kết hợp với 9 chữ số kia để tạo thành hệ thống số biểu diễn tất cả các số từ tự nhiên đến hữu tỉ, nó kết hợp với chữ số 1 để mã hóa tất cả các con số và câu lệnh trong máy tính, cùng với các quy luật của hệ nhị phân, tạo nên một thời kỳ sáng chói của liên lạc viễn thông, của khoa học vũ trụ, … Nó là căn bản, mang tính trung gian, mà nếu không có nó, các định nghĩa cho những tập hợp chứa tập hợp số nguyên dương sẽ không tựu thành. Không nhà toán học nào lại có thể tưởng tượng được trong toán học ngày nay lại thiếu vắng số 0, hoặc tập rỗng.

“Nên hiểu không là nhân Tạo thành nhất thiết pháp. Còn phủ nhận tánh Không, Là phủ nhận các pháp.” Từ không, lại có thể xây dựng lại cái có. Cái rỗng không là tự tính, nhưng nó được xây dựng thành cái có chính bởi sự tương quan cùng những cái không khác. Tập rỗng, là tập hợp không chứa phần tử nào cả, nhưng lại có thể xây dựng nên cơ sở của lí thuyết tập hợp. 
 
Để xây dựng lại tập hợp các số tự nhiên từ tập hợp rỗng, vào năm 1923, nhà toán học John von Neumann đã đề nghị một phương pháp sau đây: Bản số (cardinality) của một tập hợp là số phần tử của tập hợp đó. Một tập hợp có thể có bản số bằng 0, bản số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được hoặc vô hạn không đếm được. Theo John von Neumann, các con số, mà bản thân chúng được nhiều nhà khoa học nhìn nhận là ý niệm phi vật lý, được xây dựng lại một cách đệ quy như sau:

Số 0: Ø (tập rỗng);

Số 1: { Ø } (tập hợp chứa tập rỗng – bước xây dựng 1);

Số 2: { Ø, { Ø } } (tập hợp chứa 2 tập trước – bước xây dựng 2);

Số 3: { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø }}} (tập hợp chứa 3 tập trước – bước xây dựng 3);

Số 4: { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } }, { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } } } } (tập hợp chứa 4 tập trước – bước xây dựng 4);…

Quá trình này được lặp lại mãi mãi. Dãy này được xây dựng làm sinh ra các tập hợp có bản số là 0, 1, 2, 3, 4, v. v…. Nếu nói theo ngôn ngữ không toán học, có thể nói: Ta bắt đầu bằng sự trống rỗng, và tư duy về sự rỗng không đó. Hãy nghĩ đến cái có thể chứa trọn vẹn sự trống rỗng đó (bước 1). Và rồi, ta kết hợp giữa sự rỗng không với cái chứa sự rỗng không (bước 2), và cứ tiếp tục như thế. Rõ ràng là, chính sự quán tưởng đã làm nảy sinh ý niệm (tức là toán tử) tác động lên cái được quán tưởng.

Về mặt toán học, dãy được xây dựng đệ quy như trên đẳng cấu với tập hợp số tự nhiên đã được thừa nhận trước đó. Sự xây dựng đó còn đi xa hơn để tạo nên các cấu trúc toán học tưởng chừng như vắng mặt cả những con số – điều mà một người bình thường không tin nổi. Quả vậy, toán học hiện đại đã xây dựng những cấu trúc, những không gian tổng quát (tất nhiên, những không gian cũ mà học sinh trung học phổ thông được dạy phải là trường hợp riêng của những không gian này), đến nỗi, nhiều nhà phân tích triết học về toán học (Philosophy of Mathematics) đã gọi nó là “Toán học không con số”, chẳng hạn, Geoffrey Hellman với tác phẩm rất hay nhan đề “Mathematics without Numbers”(Oxford University Press, 1994).

Vấn đề trên của toán học cũng gợi cho ta nhớ lại rằng, mặc dù Śūnyam xuất hiện từ trước Tây lịch khá lâu tại Ấn Độ, nhưng chính Nāgārjuna đã phát triển và biến nó thành phong phú trong khái niệm Śūnyatā, ở đó, các yếu lí lời dạy của Đức Phật được diễn bày, mà nếu hiểu được thâm lý của nó ở một mức độ tương đối khá, nhà nghiên cứu sẽ thấy được bản chất của hiện hữu, trong khoa học, và trong đời sống.

Để kết thúc những tản mạn này trong mối liên hệ giữa số không và Śūnyatā, tôi xin mượn lời của thầy Tuệ Sỹ: “Một câu hỏi được đặt ra tất có mục đích muốn mở ra một chân trời mới cho tư tưởng. Tuy nhiên, bất cứ câu hỏi nào, như Long Thụ đã nói, nếu không được thiết lập trên thuyết tánh Không, thì nó đã đóng khung sẵn cho câu trả lời, và như thế, câu trả lời thực sự không trả lời gì cả”. 

Chú thích:
Algebra with Arithmetic of Brahmagupta and Bhaskara, bản dịch Anh ngữ của Henry Thomas Colebrooke, London,
Srinivasiengar, N. The History of Ancient   Indian Mathematics, Calcutta, World Press Private Ltd, 1967.

Long Thọ. Mūlamadhyamaka-kārikā (Căn Bản Trung Quán Luận Tụng, đoạn 14, phầm 24, Quán Tứ Thánh Đế), Sonam Nyima Chân Giác, Diệu Hạnh Giao Trinh dịch từ bản Anh ngữ của Wulstan Fletcher, có tham khảo từ ngữ dùng trong bản Hán dịch.

John von Neumann (1903 –1957), nhà Toán học sống tại Mỹ, gốc Do Thái sinh tại Hungary.

Tuệ Sỹ. Triết học về Tánh Không, Chương 3, An Tiêm,

Tạp Chí Văn Hóa Phật Giáo số 161
 
Gửi ý kiến của bạn
Tắt
Telex
VNI
Tên của bạn
Email của bạn
03/03/201818:23(Xem: 1824)
Não & Tâm Lê Huy Trứ Trong tựa đề, “Có phải Tâm là sản phẩm của Não hay Não nhận chỉ thị từ Tâm? ” Arjun Walia “Is Consciousness A Product Of The Brain Or Is The Brain The Receiver Of Consciousness?” Arjun Walia Arjun Walia diển tả, “Tâm là đường lối chúng ta cảm nhận và quan sát thế giới của chúng ta, chúng ta có thể nghĩ, chúng ta cố ý, cảm nhận, nhạy cảm hơn. Câu hỏi lớn nhất cho nhân tâm ngày nay “rằng thì là” (whether) nó đơn giản là một sản phẩm của não của chúng ta, hay nếu não nhận chỉ thị từ Tâm. Nếu Tâm không là đặc sản của não bộ thì nó có nghĩa là cái nhân thể vật chất không bị lệ thuộc vào chuỗi tâm thức, hoặc tự tâm.”
03/03/201809:16(Xem: 7777)
CHÁNH PHÁP Số 76, tháng 03.2018 Hình bìa của Google Images NỘI DUNG SỐ NÀY: ¨ THƯ TÒA SOẠN, trang 2 ¨ TIN TỨC PHẬT GIÁO THẾ GIỚI (Diệu Âm lược dịch), trang 3 ¨ VU VƠ, CAFÉ PALOMA (thơ Nguyễn Bá Trạc), trang 8 ¨ NỘI DUNG KINH DIỆU PHÁP LIÊN HOA, t.t. (HT. Thích Thắng Hoan), trang 9 ¨ ĐIỂM HẸN, MƯỢN TỪ ĐÂU (thơ NT Khánh Minh), trang 12 ¨ CŨNG LẠI LÀ TIM SEN (ĐNT Tín Nghĩa), trang 13 ¨ XUÂN ĐẠO, HƯƠNG XUÂN (thơ Chúc Hiền), trang 15 ¨ THƯ MỜI THAM DỰ LỄ HÚY NHẬT ĐLHT. THÍCH TRÍ CHƠN (TT. Thích Hải Chánh), trang 16 ¨ TÂM THƯ VẬN ĐỘNG MUA CƠ SỞ MỚI LÀM CHÙA BÁT NHà (HT. Thích Nguyên Trí) 17 ¨ ĐỨC ĐẠT LAI LẠT MA NÓI VỀ PHẬT GIÁO ỨNG DỤNG (Tuệ Uyển dịch), trang 18 ¨ MÙA XUÂN & CỎ HOA (thơ Mặc Phương Tử), trang 21 ¨ Ở ĐỜI VUI ĐẠO (Nguyễn Thế Đăng), trang 22 ¨ ĐÊM NGHE CHUÔNG VỌNG (thơ Huệ Trân), trang 23 ¨ MÙA XUÂN, THI CA VÀ THIỀN ĐẠO (Sakya Minh Quang), trang 24 ¨ TA ÚP MẶT (thơ Quách Thoại), trang 27 ¨ FRANCIS STORY (1910 – 1971) (H
03/03/201809:05(Xem: 2394)
Có những vần thơ gắn liền với mỗi người từ thuở biết viết, biết đọc cho đến lúc trưởng thành, đi theo suốt cuộc đời, và cũng có thể…cho đến hơi thở cuối cùng. Những vần thơ hay những câu thơ của những thi sĩ nổi danh mà mình đã thuộc nằm lòng, đã ghi nhớ tận đáy sâu của ký ức, và bỗng một lúc nào đó, ở một tình huống nào đó, một nhân duyên nào đó, tự chúng hiện ra một cách tự nhiên trong dòng tư tưởng, sự nghĩ suy, và bộc ra thành lời nói như là của chính mình và đôi lúc, chỉ nhớ đến vần thơ, câu thơ đó mà cũng không hề nhớ đến tác giả là ai nữa ! Các vần thơ, các câu thơ ấy thực sự đã gắn liền với mình, với đời sống mình, đôi lúc còn được xem như là kim chỉ Nam để giúp mình phản ứng, cư xử trước mọi hoàn cảnh, vui hay buồn, tốt hay xấu đang xảy ra.
27/02/201820:14(Xem: 1681)
Cái tự tánh của tâm viên luôn luôn thay đổi vô thường rất khó mà chuyên tâm nhất trí, chú tâm lâu dài. Kinh Pháp Cú mở đầu, “Tâm làm chủ, tâm tạo!” Hiểu theo nghĩa thông thường chấp ngã của phàm phu là tâm ta làm chủ mọi hành động của ta, tạo ra mọi tư duy và dẫn đến hành động của ta. Tâm phan duyên dẫn ta đi vòng vòng từ suy nghĩ này qua tư tưởng khác thay vì ta dễ dàng nắm bắt, hàng phục được cái tâm bất trị đó. Nhưng bồ tát không thấy tâm chủ, tâm tớ, tâm ta. Không có hành động và tư duy của người, không có suy tư và hành động của ta. Tôi nghĩ, ngay cả giữa Có và Không cũng không có sở trụ để chấp. Chẳng hạn, nhân sinh thường chấp ngã, lưu luyến sống trong quá khứ và lo lắng cho tương lai của chính mình. Chúng ta thường được giảng dạy là phải sống với hiện tại, ngay trong giờ phút này, nhưng ngay cả cái hiện tại chính giữa này cũng vô định xứ, thay đổi
03/02/201820:02(Xem: 4173)
Tương quan là có quan hệ qua lại với nhau, tương cận là mối tương quan gần gủi nhất. Vấn đề này, mang tính tương tác mà trong Phật giáo gọi là: “cái này có thì cái kia có, cái này sinh thi cái kia sinh, cái này diệt thì cái kia diệt…”
22/01/201807:04(Xem: 2592)
Tôi nghe Đức Đạt Lai Lạt Ma giảng lần đầu tiên vào năm 1972. Chỉ ba ngày sau khi tôi đến Dharamsala ở miền bắc Ấn, ngài đã bắt đầu khóa thuyết giảng 16 ngày, bốn đến sáu tiếng mỗi ngày về những giai đoạn của con đường Giác Ngộ. Tôi đã bắt đầu học Tạng ngữ và thực tập Phật giáo Tây Tạng vào năm 1962, và những vị thầy của tôi, đặc biệt chỉ bảo về những sự phức tạp của các luận điển Tây Tạng, đã chuẩn bị cho tôi việc học hỏi với những học giả du già Tây Tạng tị nạn ở Ấn Độ. Nhưng thật tình mà nói, tôi không nghĩ rằng một vị tái sanh được chỉ định nắm quyền sinh ra ở đông bắc Tây Tạng năm 1935 và được nhìn nhận qua những sự tiên đoán, các giấc mộng, những biến cố cực kỳ phi thường, và các thử nghiệm như Đức Đạt Lai Lạt Ma thứ 14 vào lúc 2 tuổi – có thể đảm đương nhiệm vụ quan trọng như vậy.
22/01/201806:17(Xem: 2790)
Chúng ta biết rằng nhà khoa học Albert Einstein có những quan điểm rất gần với nhà Phật. Nhưng rồi cũng sẽ bất ngờ, khi thấy có lúc Einstein nói y hệt, gần như 100% y hệt như giáo lý nhà Phật. Đặc biệt là khi Einstein viết thư chia buồn một người bạn thân năm 1950... Thí dụ, các pháp là Không. Thí dụ, vạn pháp là thức. Einstein đều nói lên cả hai quan điểm này. Trong Kinh Tiểu Không MN 121, và Kinh Đại Không MN 122, Đức Phật hướng dẫn cách chú tâm từ một nội dung có nhiều dẫn tới nội dung có ít, và từ có ít sẽ bước vào Không để an trú.
12/01/201807:41(Xem: 2191)
Vấn đề chủ yếu trong tác phẩm Trung Quán Luận của Long Thọ là tánh không. Ý nghĩa cốt lõi của tánh không như chúng ta đã biết là tánh không trong điều kiện duyên khởi.Trong các kệ tụng vi diệu, Long Thọ tỏ lòng kính trọng đức Phật như một vị thánh diễn giải các pháp thoại về duyên khởi với năng lực siêu nhiên. Vì vậy, Long Thọ ca ngợi đức Phật là một vị đạo sư vô song. Theo đạo Phật, nền tảng giáo lý duyên khởi là điều rất quan trọng.
06/01/201815:50(Xem: 5186)
Vài suy nghĩ về việc học chữ Phạn trong các Học Viện Phật Giáo Việt Nam_ Lê Tự Hỷ
05/01/201804:28(Xem: 3554)
Sau bài giới thiệu “Đọc Trúc Lâm Thiền Phái tại Huế của Thích Tín Nghĩa” phổ biến tới bạn đọc ngày 7/12/2017, Hòa Thượng Thích Tín Nghĩa lại gửi biếu tôi thêm hai cuốn sách : - Trúc Lâm Thiền Phái Thi Tập tái bản lần thứ nhất 2013. - Đạt Ma và Huyền Trang tái bản lần thứ ba 1998.