Tu Viện Quảng Đức105 Lynch Rd, Fawkner, Vic 3060. Australia. Tel: 9357 3544. quangduc@quangduc.com* Viện Chủ: TT Tâm Phương, Trụ Trì: TT Nguyên Tạng   

Tản mạn về số Không

11/07/201021:53(Xem: 5473)
Tản mạn về số Không
phat_2 (11)
Có nhiều bài báo, nhiều công trình khảo cứu công phu viết về con số 0 cả từ thế kỷ trước sang đến thế kỷ này. Quả tình, đó là con số kì diệu. Có những câu hỏi tưởng chừng ngớ ngẩn, chẳng hạn, “số không có phải là con số?”, nhưng đó lại là câu hỏi gây nên những trả lời dị biệt, và ở mỗi khuynh hướng tiếp cận khác nhau, những câu trả lời khẳng hoặc phủ định đều có những hợp lý riêng của chúng. Thế nhưng, hầu như ngoài những nhà toán học thì chẳng mấy ai quan tâm đến con số không; có thể nói người ta đã không cần đến nó từ các nhu cầu bình nhật như cân đo đong đếm. 
 
Điều đó cũng tương tự như trường hợp “Tánh Không” của hiện hữu, là khái niệm khó lòng chấp nhận được đối với đại đa số, khi mà phần lớn những tầm cầu khảo sát làm nên văn minh nhân loại đã dựa vào cái có của hiện tượng. Ngay cả người Hy Lạp cổ xưa, nơi xuất phát nền văn minh phương Tây, họ vẫn không có khái niệm “số không”, mặc dù họ rất cần có một con số để chỉ sự vắng mặt của một số vật thể, hay đồ dùng nào đó.

Những khảo cứu gần đây đã chứng tỏ rằng ý niệm về số không (để diễn tả cái “không” hiện hữu) đã xuất hiện từ khá lâu trước Tây lịch, từ Ai Cập, hay từ Trung Quốc; tuy nhiên, rõ ràng nhất, là sự xuất hiện của số không với kí hiệu tròn (0) từ Ấn Độ, trong công trình của nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta, vào năm 628 (Brahmasputha Siddhanta – Sự Khơi Mở Vũ Trụ). Còn trước đó, người ta vẫn không thể xác nhận số 0 trong nền toán học Ấn Độ xuất hiện tự khi nào, mặc dù những xác chứng của ngành khảo cổ học đã cho thấy rằng từ năm 256 trước Tây lịch, số 0 và hệ thống số thập phân đã xuất hiện trên các văn bản bằng đá thời A-dục.

Từ Śūnyam xuất hiện trong các văn bản và trong toán học Ấn Độ khá lâu trước khi ngài Long Thọ (Nāgārjuna) nêu lên thuật ngữ Śūnyatā (Tánh Không) trong luận thuyết của mình. Tùy theo lúc, Śūnyam thường được dịch sang tiếng Anh bằng các từ như Void, Vacant, Empty mà ta có thể hiểu với hai nghĩa thông thường trong Việt ngữ là “giá trị bằng không”, hoặc “không có gì”.

Từ Śūnyam đến Śūnyatā (Tánh Không), người ta đã đi qua một lộ trình dằng dặc từ chỗ nghi ngờ sự hiện hữu đến khẳng định sự tồn tại của “không”, và từ đó, mở ra những chân trời bao la của ý niệm, những chân trời chỉ có thể tiếp cận theo nhiều hướng khác nhau, nhưng không thể một lần nói hết. Ngày nay, Tánh Không luận đã nghiễm nhiên trở thành một luận thuyết đẹp và sâu đến nỗi những trí tuệ siêu việt luôn bị hấp dẫn và họ ngày càng khám phá ra biết bao huyền nhiệm trong mối tương ưng giữa luận thuyết và chiều sâu tâm hồn của những trí tuệ đó, cái chiều sâu không thể định danh, và sâu đến nỗi bất khả diễn bày. 
 
Cũng hoàn toàn tương tự như vậy, từ chỗ không có số 0, bất cần đến nó, nền văn minh Hy-La đã thực sự bị cuốn hút bởi số 0 đến từ phương Đông. Số 0 đó đã tồn tại theo nhiều kí dạng khác nhau, nhưng trải qua nhiều nghiên cứu, nó đã kết hợp với 9 chữ số từ 1 đến 9 để tạo ra một vũ trụ toán học muôn màu. Ngày nay, số 0, hoặc cái không có gì, lại không thể thiếu được cả trong Toán học thuần túy (Pure Mathematics) lẫn trong toán học ứng dụng (Applied Mathematics). Sau khi bị chinh phục bởi hệ thống số của người phương Đông, các nhà toán học phương Tây đã có đủ phương tiện để trí tưởng tượng bay bổng, các công trình lần lượt ra đời như vũ bão.

Trong tác phẩm Brahmasputha Siddhanta đã nói trên, Brahmagupta đã chỉ ra được một số tính chất đẹp mang tính cơ sở của số 0, ngoại trừ tính chất “0 chia 0 bằng 0”, là tính chất mà toán học hiện đại không đồng ý, bởi vì, “0 chia 0 thì không được xác định”. Cho đến nay, ta biết rằng, nhờ số 0, ta định nghĩa được các số nguyên âm, và từ đó, dẫn đến các tập hữu tỉ, thực, phức, nghĩa là toàn bộ các tập hợp số. 
 
Số 0 và vô tận trở thành hai khái niệm đối ngẫu, trên cơ sở, một số hữu hạn chia cho một đại lượng tiến dần đến 0 thì trở thành đại lượng tiến dần ra vô tận (âm hoặc dương).Trong một cách tiếp cận luận thuyết Tánh Không, ta biết rằng, cái không có gì lại hàm chứa cả vô biên. Quả táo rơi ư? Bằng quá nhiều nguyên nhân, mà quả táo tựu thành, bởi có những hoa táo không thành trái ngọt do không thụ phấn, hoặc bởi một cơn trở trời bất thuận, nó đành phải bay vào hư không rồi tan thành từng mảnh nhỏ, chẳng để lại dấu vết gì. Nhưng bởi sự ngẫu hợp của nhiều tác nhân, quả táo đã hình thành. 
 
Từng quả táo đã đi vào đời sống này theo nhiều thể điệu dâng tặng khác nhau, hoặc là món quà làm đẹp trong phòng khách, hoặc trở thành dưỡng chất của loài người, hoặc biến thành thứ rượu ngọt trần gian với khả năng dẫn đến chiến tranh, sáng tạo hoặc tình huynh đệ. Rồi một ngày kia, quả táo xuất hiện trong cái nhìn đăm đăm sâu thẳm của nhà bác học Newton. Cũng chỉ là những quả táo thôi, nhưng bằng chiêm nghiệm lặp đi lặp lại của nhà bác học, quả táo lại trở thành tác nhân khơi mở một thế giới tràn trề. Ấy là, định luật về trọng trường ra đời, đặt cơ sở cho những thành tựu khoa học vĩ đại mà nhân loại phải mang ơn.

Số 0, cái không tồn tại, đem chia cho 0, nghĩa là chia đều cho cái không có gì, thì trở thành cái bất khả tri (không xác định). Tuy nhiên, khi các định nghĩa và tính chất của Giới hạn trong Giải tích học phát triển (vào thế kỉ 18), thì cái không chia không kia tùy nơi, tùy lúc mà trở thành một giá trị hữu hạn nào đó, hoặc thậm chí, là giá trị vô hạn. Hoàn toàn có lý do khi Ankur Barua, trong một tiểu luận nhan đề “Applied Buddhism in Modern Mathematics – Phật giáo ứng dụng trong toán học hiện đại” –, sau khi tham khảo một số sách về lịch sử Toán học, đã viết: “Tánh Không luận của Nāgārjuna đã mở đường cho sự phát triển những khái niệm “không” và “vô hạn” trong toán học hiện đại”.

Số 0 trong toán học, ngay ký dạng tròn của nó đã thể hiện sự tròn đầy, trong toán học, nó kết hợp với 9 chữ số kia để tạo thành hệ thống số biểu diễn tất cả các số từ tự nhiên đến hữu tỉ, nó kết hợp với chữ số 1 để mã hóa tất cả các con số và câu lệnh trong máy tính, cùng với các quy luật của hệ nhị phân, tạo nên một thời kỳ sáng chói của liên lạc viễn thông, của khoa học vũ trụ, … Nó là căn bản, mang tính trung gian, mà nếu không có nó, các định nghĩa cho những tập hợp chứa tập hợp số nguyên dương sẽ không tựu thành. Không nhà toán học nào lại có thể tưởng tượng được trong toán học ngày nay lại thiếu vắng số 0, hoặc tập rỗng.

“Nên hiểu không là nhân Tạo thành nhất thiết pháp. Còn phủ nhận tánh Không, Là phủ nhận các pháp.” Từ không, lại có thể xây dựng lại cái có. Cái rỗng không là tự tính, nhưng nó được xây dựng thành cái có chính bởi sự tương quan cùng những cái không khác. Tập rỗng, là tập hợp không chứa phần tử nào cả, nhưng lại có thể xây dựng nên cơ sở của lí thuyết tập hợp. 
 
Để xây dựng lại tập hợp các số tự nhiên từ tập hợp rỗng, vào năm 1923, nhà toán học John von Neumann đã đề nghị một phương pháp sau đây: Bản số (cardinality) của một tập hợp là số phần tử của tập hợp đó. Một tập hợp có thể có bản số bằng 0, bản số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được hoặc vô hạn không đếm được. Theo John von Neumann, các con số, mà bản thân chúng được nhiều nhà khoa học nhìn nhận là ý niệm phi vật lý, được xây dựng lại một cách đệ quy như sau:

Số 0: Ø (tập rỗng);

Số 1: { Ø } (tập hợp chứa tập rỗng – bước xây dựng 1);

Số 2: { Ø, { Ø } } (tập hợp chứa 2 tập trước – bước xây dựng 2);

Số 3: { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø }}} (tập hợp chứa 3 tập trước – bước xây dựng 3);

Số 4: { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } }, { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } } } } (tập hợp chứa 4 tập trước – bước xây dựng 4);…

Quá trình này được lặp lại mãi mãi. Dãy này được xây dựng làm sinh ra các tập hợp có bản số là 0, 1, 2, 3, 4, v. v…. Nếu nói theo ngôn ngữ không toán học, có thể nói: Ta bắt đầu bằng sự trống rỗng, và tư duy về sự rỗng không đó. Hãy nghĩ đến cái có thể chứa trọn vẹn sự trống rỗng đó (bước 1). Và rồi, ta kết hợp giữa sự rỗng không với cái chứa sự rỗng không (bước 2), và cứ tiếp tục như thế. Rõ ràng là, chính sự quán tưởng đã làm nảy sinh ý niệm (tức là toán tử) tác động lên cái được quán tưởng.

Về mặt toán học, dãy được xây dựng đệ quy như trên đẳng cấu với tập hợp số tự nhiên đã được thừa nhận trước đó. Sự xây dựng đó còn đi xa hơn để tạo nên các cấu trúc toán học tưởng chừng như vắng mặt cả những con số – điều mà một người bình thường không tin nổi. Quả vậy, toán học hiện đại đã xây dựng những cấu trúc, những không gian tổng quát (tất nhiên, những không gian cũ mà học sinh trung học phổ thông được dạy phải là trường hợp riêng của những không gian này), đến nỗi, nhiều nhà phân tích triết học về toán học (Philosophy of Mathematics) đã gọi nó là “Toán học không con số”, chẳng hạn, Geoffrey Hellman với tác phẩm rất hay nhan đề “Mathematics without Numbers”(Oxford University Press, 1994).

Vấn đề trên của toán học cũng gợi cho ta nhớ lại rằng, mặc dù Śūnyam xuất hiện từ trước Tây lịch khá lâu tại Ấn Độ, nhưng chính Nāgārjuna đã phát triển và biến nó thành phong phú trong khái niệm Śūnyatā, ở đó, các yếu lí lời dạy của Đức Phật được diễn bày, mà nếu hiểu được thâm lý của nó ở một mức độ tương đối khá, nhà nghiên cứu sẽ thấy được bản chất của hiện hữu, trong khoa học, và trong đời sống.

Để kết thúc những tản mạn này trong mối liên hệ giữa số không và Śūnyatā, tôi xin mượn lời của thầy Tuệ Sỹ: “Một câu hỏi được đặt ra tất có mục đích muốn mở ra một chân trời mới cho tư tưởng. Tuy nhiên, bất cứ câu hỏi nào, như Long Thụ đã nói, nếu không được thiết lập trên thuyết tánh Không, thì nó đã đóng khung sẵn cho câu trả lời, và như thế, câu trả lời thực sự không trả lời gì cả”. 

Chú thích:
Algebra with Arithmetic of Brahmagupta and Bhaskara, bản dịch Anh ngữ của Henry Thomas Colebrooke, London,
Srinivasiengar, N. The History of Ancient   Indian Mathematics, Calcutta, World Press Private Ltd, 1967.

Long Thọ. Mūlamadhyamaka-kārikā (Căn Bản Trung Quán Luận Tụng, đoạn 14, phầm 24, Quán Tứ Thánh Đế), Sonam Nyima Chân Giác, Diệu Hạnh Giao Trinh dịch từ bản Anh ngữ của Wulstan Fletcher, có tham khảo từ ngữ dùng trong bản Hán dịch.

John von Neumann (1903 –1957), nhà Toán học sống tại Mỹ, gốc Do Thái sinh tại Hungary.

Tuệ Sỹ. Triết học về Tánh Không, Chương 3, An Tiêm,

Tạp Chí Văn Hóa Phật Giáo số 161
 
Gửi ý kiến của bạn
Tắt
Telex
VNI
Tên của bạn
Email của bạn
03/10/202020:05(Xem: 614)
Đây là một bài nghị luận về Lý Duyên Khởi được Ajahn Brahm viết lần đầu tiên hơn hai thập niên trước. Vào lúc đó, ngài quan tâm nhiều hơn đến những chi tiết phức tạp trong việc giảng dạy kinh điển. Vì lý do đó bài nghị luận này có tính cách hoàn toàn chuyên môn, so với những gì ngài giảng dạy hiện nay. Một trong những học giả Phật học nổi tiếng nhất hiện nay về kinh điển Phật giáo đương đại là Ngài Bhikkhu Bodhi, đã nói với tôi rằng “Đây là bài tham luận hay nhất mà tôi được đọc về đề tài này”.
01/06/202010:25(Xem: 4724)
48 Đại Nguyện của Đức Phật A Di Đà (loạt bài giảng của TT Thích Nguyên Tạng trong mùa dịch cúm Covid-19)
05/04/202020:49(Xem: 1567)
Luận Đại Thừa Trăm Pháp do Bồ tát Thế Thân (TK IV TL) tạo nêu rõ tám thức tâm vương hàm Tâm Ý Thức thuộc ngành tâm lý – Duy Thức Học và là một tông phái: Duy Thức Tông - thuộc Đại Thừa Phật Giáo. Tâm Ý Thức như trở thành một đề tài lớn, quan trọng, bàn cải bất tận lâu nay trong giới Phật học thuộc tâm lý học. Bồ Tát Thế Thântạo luận, lập Du Già Hành Tông ở Ấn Độ, và sau 3 thế kỷ pháp sư Huyền Trang du học sang Ấn Độ học tông này với Ngài Giới Hiền tại đại học Na Lan Đà (Ấn Độ) năm 626 Tây Lịch. Sau khi trở về nước (TH) Huyền Trang lập Duy Thức Tông và truyền thừa cho Khuy Cơ (632-682) xiển dương giáo nghĩa lưu truyền hậu thế.
30/03/202013:07(Xem: 1037)
Những người Cơ đốc giáo thường đặt vấn đề: Thượng đế có phải là một con người hay không? Nếu Thượng đế không phải là một con người thì làm sao chúng ta có thể cầu nguyện? Đây là một vấn đề rất lớn trong Cơ đốc giáo. (God is a person or is not a person?)
23/03/202009:20(Xem: 1407)
Có một con sư tử mẹ đang đi kiếm ăn. Nó sắp làm mẹ. Buổi sáng đó nó chạy đuổi theo một chú nai. Chú nai con chạy thật nhanh dù sức yếu. Sư tử mẹ dầu mạnh, nhưng đang mang thai, nên khá chậm chạp. Sư tử mẹ chạy sau chú nai con rất lâu, khoảng 15 phút, mà vẫn chưa bắt kịp. Sau đó chúng tới một rãnh sâu. Chú nai lẹ làng nhảy qua rãnh, sang bờ bên kia. Sư tử mẹ rất bực tức vì không bắt kịp con mồi, và vì nó đang cần thức ăn cho cả nó và đứa con trong bụng. Vì thế, nó cố hết sức để nhảy qua cái rãnh sâu. Nhưng tai họa đã xảy ra, sư tử mẹ đã sẩy đứa con khi cố nhảy qua rãnh. Dầu qua được bờ bên kia, nhưng sư tử mẹ biết rằng mình đã đánh mất đứa con mà nó đã chờ đợi từ bao lâu, đã yêu thương hết lòng, chỉ vì một phút vô tâm của mình. Nó đã quên rằng nó đang mang một bào thai trong bụng, và nó cần phải hết sức cẩn trọng. Chỉ một phút lơ đễnh, nó đã không giữ được đứa con của mình.
01/03/202016:44(Xem: 1814)
Kinh Viên Giác là kinh đại thừa đốn giáo được Phật cho đó là “Con mắt của 12 bộ kinh”. “Con mắt” ở đây theo thiển ý có nghĩa là Viên Giác soi sáng nghĩa lý, là điểm tựa, là ngọn hải đăng cho các bộ kinh để đi đúng “chánh pháp nhãn tạng”, không lạc vào đường tà và tu thành Phật. Khi nghe kinh này, đại chúng kể cả chư Phật và chư Bồ Tát đều phải vào chánh định/tam muội, không bình thường như những pháp hội khác.
06/01/202009:01(Xem: 1738)
Đức Tổng Giám mục Colombo, Đức Hồng Y Malcolm Ranjith người Sri Lanka,Chủ tịch Hội đồng Giám mục Sri Lanka, phục vụ Giáo hội Công giáo La Mã của Thánh Matthew ở Ekala, Sri Lanka, gần đây đã nói điều gì đó dọc theo dòng “Nhân quyền đã trở thành tôn giáo mới nhất ở phương Tây. . . Người dân Sri Lanka đã nghiêng về con người thông qua Phật giáo, truyền thống tôn giáo chính thống của họ đã trải qua hàng nghìn năm lịch sử. . . Những người không thực hành tôn giáo là những người bị treo lên Nhân quyền”.
04/01/202020:59(Xem: 1295)
Bài viết nhan đề “Góp Ý Với Sư Cô Thích Nữ Thanh Tâm” của Cư sĩ Thiện Quả Đào Văn Bình trên mạng Thư Viện Hoa Sen hiển nhiên là nhiều thiện ý, đã đưa ra các nhận định mang tính xây dựng. Từ đó, tất nhiên có phản ứng, và những ý kiến trái nghịch được đưa ra. Trong mọi trường hợp, tất cả những dị kiến nên xem như chuyện bình thường.
04/01/202020:10(Xem: 1340)
Trong Ngũ Đăng Hội Nguyên có thiền truyện thuật lại cuộc hỏi đáp giữa Triệu Châu và Nam Tuyền: " Triệu Châu hỏi Nam Tuyền: 'Thế nào là đạo?' Nam Tuyền đáp : ‘Tâm bình thường là đạo’ (Bình Thường Tâm thị Đạo). _’Lại có thể nhằm tiến đến chăng?’ _ ‘Nghĩ nhằm tiến đến là trái’. _ ‘Khi chẳng nghĩ làm sao biết là đạo?’ _ ‘Đạo chẳng thuộc biết và chẳng biết. Biết là vọng giác, không biết là vô ký. Nếu thật đạt đạo thì chẳng nghi, ví như hư không rỗng rang đâu thể gắng nói phải quấy’. Ngay nơi lời này Triệu Châu ngộ lý, bèn đi thọ giới...." Vậy, thế nào là “Tâm Bình Thường”?
08/12/201908:58(Xem: 2337)
Kính lễ Phật Pháp Tăng là thể hiện niềm tin sâu xa của Tứ chúng đệ tử đức Phật mỗi ngày đối với Tam bảo. Đệ tử Phật dù tu tập chứng A-la-hán vẫn suốt đời nương tựa và kính lễ Phật Pháp Tăng không hề xao lãng. Các vị Bồ tát từ khi phát Bồ đề tâm, tu tập trải qua các địa vị từ Tín, Trú, Hạnh, Hướng, Địa cho đến Đẳng giác không phải chỉ nương tựa và kính lễ Phật Pháp Tăng một đời mà đời đời, kiếp kiếp đều nương tựa và kính lễ Phật Pháp Tăng. Nhờ sự nương tựa và kính lễ Phật Pháp Tăng như vậy, mà Bồ tát không rơi mất hay quên lãng tâm bồ đề, khiến nhập được vào cảnh giới Tịnh độ không thể nghĩ bàn của chư Phật, nhập vào thể tính bất sinh diệt cùng khắp của Pháp và nhập vào bản thể hòa hợp-thanh tịnh, sự lý dung thông vô ngại của Tăng.