Tu Viện Quảng Đức105 Lynch Rd, Fawkner, Vic 3060. Australia. Tel: 9357 3544. quangduc@quangduc.com* Viện Chủ: HT Tâm Phương, Trụ Trì: TT Nguyên Tạng   

Tản mạn về số Không

11/07/201021:53(Xem: 10562)
Tản mạn về số Không
phat_2 (11)
Có nhiều bài báo, nhiều công trình khảo cứu công phu viết về con số 0 cả từ thế kỷ trước sang đến thế kỷ này. Quả tình, đó là con số kì diệu. Có những câu hỏi tưởng chừng ngớ ngẩn, chẳng hạn, “số không có phải là con số?”, nhưng đó lại là câu hỏi gây nên những trả lời dị biệt, và ở mỗi khuynh hướng tiếp cận khác nhau, những câu trả lời khẳng hoặc phủ định đều có những hợp lý riêng của chúng. Thế nhưng, hầu như ngoài những nhà toán học thì chẳng mấy ai quan tâm đến con số không; có thể nói người ta đã không cần đến nó từ các nhu cầu bình nhật như cân đo đong đếm. 
 
Điều đó cũng tương tự như trường hợp “Tánh Không” của hiện hữu, là khái niệm khó lòng chấp nhận được đối với đại đa số, khi mà phần lớn những tầm cầu khảo sát làm nên văn minh nhân loại đã dựa vào cái có của hiện tượng. Ngay cả người Hy Lạp cổ xưa, nơi xuất phát nền văn minh phương Tây, họ vẫn không có khái niệm “số không”, mặc dù họ rất cần có một con số để chỉ sự vắng mặt của một số vật thể, hay đồ dùng nào đó.

Những khảo cứu gần đây đã chứng tỏ rằng ý niệm về số không (để diễn tả cái “không” hiện hữu) đã xuất hiện từ khá lâu trước Tây lịch, từ Ai Cập, hay từ Trung Quốc; tuy nhiên, rõ ràng nhất, là sự xuất hiện của số không với kí hiệu tròn (0) từ Ấn Độ, trong công trình của nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta, vào năm 628 (Brahmasputha Siddhanta – Sự Khơi Mở Vũ Trụ). Còn trước đó, người ta vẫn không thể xác nhận số 0 trong nền toán học Ấn Độ xuất hiện tự khi nào, mặc dù những xác chứng của ngành khảo cổ học đã cho thấy rằng từ năm 256 trước Tây lịch, số 0 và hệ thống số thập phân đã xuất hiện trên các văn bản bằng đá thời A-dục.

Từ Śūnyam xuất hiện trong các văn bản và trong toán học Ấn Độ khá lâu trước khi ngài Long Thọ (Nāgārjuna) nêu lên thuật ngữ Śūnyatā (Tánh Không) trong luận thuyết của mình. Tùy theo lúc, Śūnyam thường được dịch sang tiếng Anh bằng các từ như Void, Vacant, Empty mà ta có thể hiểu với hai nghĩa thông thường trong Việt ngữ là “giá trị bằng không”, hoặc “không có gì”.

Từ Śūnyam đến Śūnyatā (Tánh Không), người ta đã đi qua một lộ trình dằng dặc từ chỗ nghi ngờ sự hiện hữu đến khẳng định sự tồn tại của “không”, và từ đó, mở ra những chân trời bao la của ý niệm, những chân trời chỉ có thể tiếp cận theo nhiều hướng khác nhau, nhưng không thể một lần nói hết. Ngày nay, Tánh Không luận đã nghiễm nhiên trở thành một luận thuyết đẹp và sâu đến nỗi những trí tuệ siêu việt luôn bị hấp dẫn và họ ngày càng khám phá ra biết bao huyền nhiệm trong mối tương ưng giữa luận thuyết và chiều sâu tâm hồn của những trí tuệ đó, cái chiều sâu không thể định danh, và sâu đến nỗi bất khả diễn bày. 
 
Cũng hoàn toàn tương tự như vậy, từ chỗ không có số 0, bất cần đến nó, nền văn minh Hy-La đã thực sự bị cuốn hút bởi số 0 đến từ phương Đông. Số 0 đó đã tồn tại theo nhiều kí dạng khác nhau, nhưng trải qua nhiều nghiên cứu, nó đã kết hợp với 9 chữ số từ 1 đến 9 để tạo ra một vũ trụ toán học muôn màu. Ngày nay, số 0, hoặc cái không có gì, lại không thể thiếu được cả trong Toán học thuần túy (Pure Mathematics) lẫn trong toán học ứng dụng (Applied Mathematics). Sau khi bị chinh phục bởi hệ thống số của người phương Đông, các nhà toán học phương Tây đã có đủ phương tiện để trí tưởng tượng bay bổng, các công trình lần lượt ra đời như vũ bão.

Trong tác phẩm Brahmasputha Siddhanta đã nói trên, Brahmagupta đã chỉ ra được một số tính chất đẹp mang tính cơ sở của số 0, ngoại trừ tính chất “0 chia 0 bằng 0”, là tính chất mà toán học hiện đại không đồng ý, bởi vì, “0 chia 0 thì không được xác định”. Cho đến nay, ta biết rằng, nhờ số 0, ta định nghĩa được các số nguyên âm, và từ đó, dẫn đến các tập hữu tỉ, thực, phức, nghĩa là toàn bộ các tập hợp số. 
 
Số 0 và vô tận trở thành hai khái niệm đối ngẫu, trên cơ sở, một số hữu hạn chia cho một đại lượng tiến dần đến 0 thì trở thành đại lượng tiến dần ra vô tận (âm hoặc dương).Trong một cách tiếp cận luận thuyết Tánh Không, ta biết rằng, cái không có gì lại hàm chứa cả vô biên. Quả táo rơi ư? Bằng quá nhiều nguyên nhân, mà quả táo tựu thành, bởi có những hoa táo không thành trái ngọt do không thụ phấn, hoặc bởi một cơn trở trời bất thuận, nó đành phải bay vào hư không rồi tan thành từng mảnh nhỏ, chẳng để lại dấu vết gì. Nhưng bởi sự ngẫu hợp của nhiều tác nhân, quả táo đã hình thành. 
 
Từng quả táo đã đi vào đời sống này theo nhiều thể điệu dâng tặng khác nhau, hoặc là món quà làm đẹp trong phòng khách, hoặc trở thành dưỡng chất của loài người, hoặc biến thành thứ rượu ngọt trần gian với khả năng dẫn đến chiến tranh, sáng tạo hoặc tình huynh đệ. Rồi một ngày kia, quả táo xuất hiện trong cái nhìn đăm đăm sâu thẳm của nhà bác học Newton. Cũng chỉ là những quả táo thôi, nhưng bằng chiêm nghiệm lặp đi lặp lại của nhà bác học, quả táo lại trở thành tác nhân khơi mở một thế giới tràn trề. Ấy là, định luật về trọng trường ra đời, đặt cơ sở cho những thành tựu khoa học vĩ đại mà nhân loại phải mang ơn.

Số 0, cái không tồn tại, đem chia cho 0, nghĩa là chia đều cho cái không có gì, thì trở thành cái bất khả tri (không xác định). Tuy nhiên, khi các định nghĩa và tính chất của Giới hạn trong Giải tích học phát triển (vào thế kỉ 18), thì cái không chia không kia tùy nơi, tùy lúc mà trở thành một giá trị hữu hạn nào đó, hoặc thậm chí, là giá trị vô hạn. Hoàn toàn có lý do khi Ankur Barua, trong một tiểu luận nhan đề “Applied Buddhism in Modern Mathematics – Phật giáo ứng dụng trong toán học hiện đại” –, sau khi tham khảo một số sách về lịch sử Toán học, đã viết: “Tánh Không luận của Nāgārjuna đã mở đường cho sự phát triển những khái niệm “không” và “vô hạn” trong toán học hiện đại”.

Số 0 trong toán học, ngay ký dạng tròn của nó đã thể hiện sự tròn đầy, trong toán học, nó kết hợp với 9 chữ số kia để tạo thành hệ thống số biểu diễn tất cả các số từ tự nhiên đến hữu tỉ, nó kết hợp với chữ số 1 để mã hóa tất cả các con số và câu lệnh trong máy tính, cùng với các quy luật của hệ nhị phân, tạo nên một thời kỳ sáng chói của liên lạc viễn thông, của khoa học vũ trụ, … Nó là căn bản, mang tính trung gian, mà nếu không có nó, các định nghĩa cho những tập hợp chứa tập hợp số nguyên dương sẽ không tựu thành. Không nhà toán học nào lại có thể tưởng tượng được trong toán học ngày nay lại thiếu vắng số 0, hoặc tập rỗng.

“Nên hiểu không là nhân Tạo thành nhất thiết pháp. Còn phủ nhận tánh Không, Là phủ nhận các pháp.” Từ không, lại có thể xây dựng lại cái có. Cái rỗng không là tự tính, nhưng nó được xây dựng thành cái có chính bởi sự tương quan cùng những cái không khác. Tập rỗng, là tập hợp không chứa phần tử nào cả, nhưng lại có thể xây dựng nên cơ sở của lí thuyết tập hợp. 
 
Để xây dựng lại tập hợp các số tự nhiên từ tập hợp rỗng, vào năm 1923, nhà toán học John von Neumann đã đề nghị một phương pháp sau đây: Bản số (cardinality) của một tập hợp là số phần tử của tập hợp đó. Một tập hợp có thể có bản số bằng 0, bản số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được hoặc vô hạn không đếm được. Theo John von Neumann, các con số, mà bản thân chúng được nhiều nhà khoa học nhìn nhận là ý niệm phi vật lý, được xây dựng lại một cách đệ quy như sau:

Số 0: Ø (tập rỗng);

Số 1: { Ø } (tập hợp chứa tập rỗng – bước xây dựng 1);

Số 2: { Ø, { Ø } } (tập hợp chứa 2 tập trước – bước xây dựng 2);

Số 3: { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø }}} (tập hợp chứa 3 tập trước – bước xây dựng 3);

Số 4: { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } }, { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } } } } (tập hợp chứa 4 tập trước – bước xây dựng 4);…

Quá trình này được lặp lại mãi mãi. Dãy này được xây dựng làm sinh ra các tập hợp có bản số là 0, 1, 2, 3, 4, v. v…. Nếu nói theo ngôn ngữ không toán học, có thể nói: Ta bắt đầu bằng sự trống rỗng, và tư duy về sự rỗng không đó. Hãy nghĩ đến cái có thể chứa trọn vẹn sự trống rỗng đó (bước 1). Và rồi, ta kết hợp giữa sự rỗng không với cái chứa sự rỗng không (bước 2), và cứ tiếp tục như thế. Rõ ràng là, chính sự quán tưởng đã làm nảy sinh ý niệm (tức là toán tử) tác động lên cái được quán tưởng.

Về mặt toán học, dãy được xây dựng đệ quy như trên đẳng cấu với tập hợp số tự nhiên đã được thừa nhận trước đó. Sự xây dựng đó còn đi xa hơn để tạo nên các cấu trúc toán học tưởng chừng như vắng mặt cả những con số – điều mà một người bình thường không tin nổi. Quả vậy, toán học hiện đại đã xây dựng những cấu trúc, những không gian tổng quát (tất nhiên, những không gian cũ mà học sinh trung học phổ thông được dạy phải là trường hợp riêng của những không gian này), đến nỗi, nhiều nhà phân tích triết học về toán học (Philosophy of Mathematics) đã gọi nó là “Toán học không con số”, chẳng hạn, Geoffrey Hellman với tác phẩm rất hay nhan đề “Mathematics without Numbers”(Oxford University Press, 1994).

Vấn đề trên của toán học cũng gợi cho ta nhớ lại rằng, mặc dù Śūnyam xuất hiện từ trước Tây lịch khá lâu tại Ấn Độ, nhưng chính Nāgārjuna đã phát triển và biến nó thành phong phú trong khái niệm Śūnyatā, ở đó, các yếu lí lời dạy của Đức Phật được diễn bày, mà nếu hiểu được thâm lý của nó ở một mức độ tương đối khá, nhà nghiên cứu sẽ thấy được bản chất của hiện hữu, trong khoa học, và trong đời sống.

Để kết thúc những tản mạn này trong mối liên hệ giữa số không và Śūnyatā, tôi xin mượn lời của thầy Tuệ Sỹ: “Một câu hỏi được đặt ra tất có mục đích muốn mở ra một chân trời mới cho tư tưởng. Tuy nhiên, bất cứ câu hỏi nào, như Long Thụ đã nói, nếu không được thiết lập trên thuyết tánh Không, thì nó đã đóng khung sẵn cho câu trả lời, và như thế, câu trả lời thực sự không trả lời gì cả”. 

Chú thích:
Algebra with Arithmetic of Brahmagupta and Bhaskara, bản dịch Anh ngữ của Henry Thomas Colebrooke, London,
Srinivasiengar, N. The History of Ancient   Indian Mathematics, Calcutta, World Press Private Ltd, 1967.

Long Thọ. Mūlamadhyamaka-kārikā (Căn Bản Trung Quán Luận Tụng, đoạn 14, phầm 24, Quán Tứ Thánh Đế), Sonam Nyima Chân Giác, Diệu Hạnh Giao Trinh dịch từ bản Anh ngữ của Wulstan Fletcher, có tham khảo từ ngữ dùng trong bản Hán dịch.

John von Neumann (1903 –1957), nhà Toán học sống tại Mỹ, gốc Do Thái sinh tại Hungary.

Tuệ Sỹ. Triết học về Tánh Không, Chương 3, An Tiêm,

Tạp Chí Văn Hóa Phật Giáo số 161
 
Gửi ý kiến của bạn
Tắt
Telex
VNI
Tên của bạn
Email của bạn
14/10/2024(Xem: 306)
Bầu không khí chính trị trên thế giới hiện nay đang nóng bỏng vì khuynh hướng độc tài, cực đoan, chia rẽ, hận thù và cuồng vọng không thua kém gì bầu khí quyển của địa cầu đang nóng dần lên do khí thải nhà kính gây ra. Cả hai đều do con người tạo ra và đều là thảm họa cho nhân loại! Nhưng thảm họa này không phải là điều không thể giải quyết được, bởi lẽ những gì do con người gây ra cũng đều có thể do con người ngăn chận và hóa giải được. Cụ thể là hàng chục năm qua, Liên Hiệp Quốc đã nỗ lực kêu gọi, bằng các nghị quyết, các quốc gia cố gắng thực hiện các biện pháp giảm khí thải nhà kính, với các chính sách cắt giảm lượng tiêu thụ nhiên liệu hóa thạch, gia tăng sản lượng xe chạy bằng điện năng, v.v… Dù kết quả chưa đạt được mức yêu cầu, nhưng cũng đã gây được ý thức và thể hiện quyết tâm của cộng đồng thế giới trong việc giải quyết thảm họa của khí thải nhà kính.
04/06/2024(Xem: 2828)
Cùng toàn thể giới tử thọ trì Bát quan trai giới một ngày một đêm tại trú xứ Tăng già-lam Phước duyên, thành phố Huế, hiện diện quý mến. Một ngày một đêm quý vị ở trong Tịnh giới với niềm tin thanh tịnh, kiên cố, bất hoại đối với Tam bảo. Nhờ niềm tin này mà quý vị không để cho Giới pháp của mình bị sứt mẻ ở trong đi, ở trong đứng, ở trong nằm, ở trong ngồi, ở trong sự nói năng, giao tiếp. Quý vị có được niềm tin này là nhờ quý vị nuôi lớn sáu tính chất của Tam bảo, khiến cho ba nghiệp của quý vị được an tịnh, an tịnh về thân hành, an tịnh về ngữ hành, an tịnh về ý hành. Sáu tính chất của Tam bảo, quý vị phải thường quán chiếu sâu sắc, để thể nhập và tạo ra chất liệu cho chính mình, ngay đời này và đời sau. Sáu tính chất của Tam bảo gồm:
27/05/2024(Xem: 729)
Theo quan niệm của Phật giáo, Khổ (zh. 苦, sa. duḥkha, pi. dukkha) là cơ sở quan trọng của Tứ Diệu Đế. Chúng ta thường nghe nói, “Đời Là Bể Khổ.” Phật Giáo phân loại Khổ rất luận lý khoa học: Tam Khổ (Khổ khổ [sa. duḥkha-duḥkha,] Hoại khổ [sa. vipariṇāma-duḥkha,] và Hành khổ [sa. saṃskāra-duḥkha.] Ngoài ra còn có Bát khổ. Sinh – Lão – Bệnh – Tử gọi là tứ khổ. Cộng thêm 4 cái khổ khác nữa là: Ái biệt ly khổ - 愛別離苦(あいべつりく): Yêu nhau mà chia lìa nhau là khổ vậy. Cầu bất đắc khổ - 求不得苦(ぐふとくく): Cầu mà không được chính là khổ vậy. Oán tắng hội khổ - 怨憎会苦(おんぞうえく): Ghét mà phải ra vào gặp mặt hàng ngày là khổ vậy. Ngũ ấm xí thạnh khổ - 五蘊 盛苦(ごうんじょう): No cơm ấm cật quá cũng khổ.
30/04/2024(Xem: 2348)
Những lời trích dẫn trên đây thật đanh thép và minh bạch, chữ vu khống trong câu trích dẫn trên đây trong bản gốc bằng tiếng Pali là chữ abbhācikkhanti (abhi + ā + cikkh + a), các tự điển tiếng Anh dịch chữ này là accusation, calumny, slander…, có nghĩa là kết án, phỉ báng, vu khống…. Thế nhưng trong khi viết lách hay thuyết giảng đôi khi chúng ta không nghĩ đến những lời cảnh giác trên đây của Đức Phật. Sau hơn hai mươi lăm thế kỷ quảng bá, xuyên qua nhiều vùng địa lý, hòa mình với nhiều nền văn minh và văn hóa khác nhau, nền Tư tưởng và Giáo huấn của Đức Phật đã phải trải qua nhiều thử thách, thích ứng với nhiều dân tộc, do đó thật khó tránh khỏi ít nhiều biến dạng và thêm thắt. Thế nhưng thực tế cho thấy trong suốt cuộc hành trình kỳ thú và vĩ đại đó – nếu có thể nói như vậy – nền Tư tưởng và Giáo huấn đó của Đức Phật vẫn đứng vững và đã góp phần không nhỏ trong công trình cải thiện xã hội, nâng cao trình độ văn hóa, tư tưởng và mang lại ít nhất là một chút gì đó lý tưởng hơn, cao đ
30/04/2024(Xem: 2591)
Con người thường hay thắc mắc tại sao mình có mặt ở cõi giới Ta Bà này để chịu khổ triền miên. Câu trả lời thường được nghe là: Để trả nghiệp. Nhưng nghiệp là gì? Và làm sao để thoát khỏi? Then chốt cho câu trả lời được gói ghém trong 2 câu: “Ái bất trọng, bất sanh Ta Bà Niệm bất nhất, bất sanh Tịnh Độ” Có nghĩa là: “Nghiệp ái luyến không nặng, sẽ không tái sanh ở cõi Ta Bà Niệm Phật không nhất tâm, sẽ không vãng sanh về Tịnh Độ”
18/02/2024(Xem: 3091)
Bát Chánh Đạo là con đường thánh có tám chi nhánh: Chánh Tri Kiến, Chánh Tư Duy, Chánh Ngữ, Chánh Nghiệp, Chánh Mạng, Chánh Tinh Tấn, Chánh Niệm và Chánh Định. Đây là con đường trung đạo, là lộ trình kỳ diệu giúp cho bất kể ai hân hoan, tín thọ, pháp thọ trong việc ứng dụng, thời có thể chuyển hóa nỗi khổ, niềm đau thành an lạc, giải thoát, niết bàn. Bát Chánh Đạo là Chơn Pháp vi diệu, là con đường đưa đến khổ diệt, vượt thời gian, thiết thực trong hiện tại, được chư Phật quá khứ, Đức Phật hiện tại và chư Phật tương lai chứng ngộ, cung kính, tán thán và thuyết giảng cho bốn chúng đệ tử, cho loài người, loài trời để họ khai ngộ, đến để mà thấy, và tự mình giác hiểu.
07/02/2024(Xem: 6070)
Từ 1983 đến 1985 khi đang ở Singapore, bận bịu với chương trình nghiên cứu Phật giáo tại Viện Phát triển Giáo Trình, tôi được Tu viện Phật giáo Srilankaramaya và một số đạo hữu mời giảng bốn loạt bài pháp nói về một vài tông phái chính của Phật giáo. Các bài giảng được ưa thích, và nhờ các cố gắng của Ô. Yeo Eng Chen và một số bạn khác, chúng đã được ghi âm, chép tay và in ấn để phát miễn phí cho các học viên. Kể từ đó, các bài pháp khởi đi từ hình thức của các tập rời được ngưỡng mộ và cũng được tái bản. Sau đó, tôi nhận thấy có vẻ hay hơn nếu in ấn bốn phần ấy thành một quyển hợp nhất, và với vài lần nhuận sắc, xuất bản chúng để cho công chúng dùng chung.
20/01/2024(Xem: 2380)
Năm xưa khi Phật thuyết kinh, hoàn toàn dùng khẩu ngữ vì bấy giờ nhân loại chưa có chữ viết (xứ Ấn). Sau khi Phật diệt độ, các đệ tử Phật mới kết tập laị những gì Phật dạy để lưu truyền cho đời sau. Đạo Phật dần dần truyền sang các xứ khác, truyền đến đâu thì kinh điển cũng được phiên dịch sang ngôn ngữ của xứ ấy. Lúc ban đầu kinh Phật được ghi chép bằng tiếng Phạn ( Sancrit, Pali ) sau đó thì dịch sang tiếng: Sinhale, Pakistan, Afghanistan, tiếng Tàu, Thái, Nhật, Hàn, Việt… và sau nữa là tiếng Pháp, Anh, Tây Ban Nha…
20/12/2023(Xem: 2844)
Tiến sĩ Bạch Xuân Phẻ (Bạch X. Khỏe) định cư ở Hoa Kỳ từ năm 1991, hiện đang giảng dạy Hóa học và Hóa học danh dự cho Trường trung học Mira Loma tại thủ phủ Sacramento, CA. Ông quy y với Thiền sư Trừng Quang Thích Nhất Hạnh, có Pháp danh là Tâm Thường Định. Ông đã và đang giảng dạy về Lãnh đạo chánh niệm và phương thức mang chánh niệm vào học đường ở bang California từ năm 2014. Tiến sỹ Bạch cũng giảng dạy cho chương trình huấn luyện giáo viên. Ngoài ra, ông còn tham gia nhiều công việc xã hội trong cộng đồng. Tháng Ba 2023, TS Bạch Xuân Phẻ được Hiệp hội Giáo viên California (California Teachers Association) vinh danh vì những đóng góp giáo dục thực hành chánh niệm của ông. TS Bạch Xuân Phẻ cũng được trao Giải thưởng Nhân quyền người Mỹ gốc Á Thái Bình Dương năm 2023 của bang California (Human Right Awards).
facebook youtube google-plus linkedin twitter blog
Nguyện đem công đức này, trang nghiêm Phật Tịnh Độ, trên đền bốn ơn nặng, dưới cứu khổ ba đường,
nếu có người thấy nghe, đều phát lòng Bồ Đề, hết một báo thân này, sinh qua cõi Cực Lạc.

May the Merit and virtue,accrued from this work, adorn the Buddhas pureland,
Repay the four great kindnesses above, andrelieve the suffering of those on the three paths below,
may those who see or hear of these efforts generates Bodhi Mind, spend their lives devoted to the Buddha Dharma,
the Land of Ultimate Bliss.

Quang Duc Buddhist Welfare Association of Victoria
Tu Viện Quảng Đức | Quang Duc Monastery
Most Venerable Thich Tam Phuong | Senior Venerable Thich Nguyen Tang
Address: Quang Duc Monastery, 105 Lynch Road, Fawkner, Vic.3060 Australia
Tel: 61.03.9357 3544 ; Fax: 61.03.9357 3600
Website: http://www.quangduc.com
http://www.tuvienquangduc.com.au (old)
Xin gửi Xin gửi bài mới và ý kiến đóng góp đến Ban Biên Tập qua địa chỉ:
quangduc@quangduc.com