Tu Viện Quảng Đức105 Lynch Rd, Fawkner, Vic 3060. Australia. Tel: 9357 3544. quangduc@quangduc.com* Viện Chủ: TT Tâm Phương, Trụ Trì: TT Nguyên Tạng   
Bài mới nhất

Tản mạn về số Không

11/07/201021:53(Xem: 3976)
Tản mạn về số Không
phat_2 (11)
Có nhiều bài báo, nhiều công trình khảo cứu công phu viết về con số 0 cả từ thế kỷ trước sang đến thế kỷ này. Quả tình, đó là con số kì diệu. Có những câu hỏi tưởng chừng ngớ ngẩn, chẳng hạn, “số không có phải là con số?”, nhưng đó lại là câu hỏi gây nên những trả lời dị biệt, và ở mỗi khuynh hướng tiếp cận khác nhau, những câu trả lời khẳng hoặc phủ định đều có những hợp lý riêng của chúng. Thế nhưng, hầu như ngoài những nhà toán học thì chẳng mấy ai quan tâm đến con số không; có thể nói người ta đã không cần đến nó từ các nhu cầu bình nhật như cân đo đong đếm. 
 
Điều đó cũng tương tự như trường hợp “Tánh Không” của hiện hữu, là khái niệm khó lòng chấp nhận được đối với đại đa số, khi mà phần lớn những tầm cầu khảo sát làm nên văn minh nhân loại đã dựa vào cái có của hiện tượng. Ngay cả người Hy Lạp cổ xưa, nơi xuất phát nền văn minh phương Tây, họ vẫn không có khái niệm “số không”, mặc dù họ rất cần có một con số để chỉ sự vắng mặt của một số vật thể, hay đồ dùng nào đó.

Những khảo cứu gần đây đã chứng tỏ rằng ý niệm về số không (để diễn tả cái “không” hiện hữu) đã xuất hiện từ khá lâu trước Tây lịch, từ Ai Cập, hay từ Trung Quốc; tuy nhiên, rõ ràng nhất, là sự xuất hiện của số không với kí hiệu tròn (0) từ Ấn Độ, trong công trình của nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta, vào năm 628 (Brahmasputha Siddhanta – Sự Khơi Mở Vũ Trụ). Còn trước đó, người ta vẫn không thể xác nhận số 0 trong nền toán học Ấn Độ xuất hiện tự khi nào, mặc dù những xác chứng của ngành khảo cổ học đã cho thấy rằng từ năm 256 trước Tây lịch, số 0 và hệ thống số thập phân đã xuất hiện trên các văn bản bằng đá thời A-dục.

Từ Śūnyam xuất hiện trong các văn bản và trong toán học Ấn Độ khá lâu trước khi ngài Long Thọ (Nāgārjuna) nêu lên thuật ngữ Śūnyatā (Tánh Không) trong luận thuyết của mình. Tùy theo lúc, Śūnyam thường được dịch sang tiếng Anh bằng các từ như Void, Vacant, Empty mà ta có thể hiểu với hai nghĩa thông thường trong Việt ngữ là “giá trị bằng không”, hoặc “không có gì”.

Từ Śūnyam đến Śūnyatā (Tánh Không), người ta đã đi qua một lộ trình dằng dặc từ chỗ nghi ngờ sự hiện hữu đến khẳng định sự tồn tại của “không”, và từ đó, mở ra những chân trời bao la của ý niệm, những chân trời chỉ có thể tiếp cận theo nhiều hướng khác nhau, nhưng không thể một lần nói hết. Ngày nay, Tánh Không luận đã nghiễm nhiên trở thành một luận thuyết đẹp và sâu đến nỗi những trí tuệ siêu việt luôn bị hấp dẫn và họ ngày càng khám phá ra biết bao huyền nhiệm trong mối tương ưng giữa luận thuyết và chiều sâu tâm hồn của những trí tuệ đó, cái chiều sâu không thể định danh, và sâu đến nỗi bất khả diễn bày. 
 
Cũng hoàn toàn tương tự như vậy, từ chỗ không có số 0, bất cần đến nó, nền văn minh Hy-La đã thực sự bị cuốn hút bởi số 0 đến từ phương Đông. Số 0 đó đã tồn tại theo nhiều kí dạng khác nhau, nhưng trải qua nhiều nghiên cứu, nó đã kết hợp với 9 chữ số từ 1 đến 9 để tạo ra một vũ trụ toán học muôn màu. Ngày nay, số 0, hoặc cái không có gì, lại không thể thiếu được cả trong Toán học thuần túy (Pure Mathematics) lẫn trong toán học ứng dụng (Applied Mathematics). Sau khi bị chinh phục bởi hệ thống số của người phương Đông, các nhà toán học phương Tây đã có đủ phương tiện để trí tưởng tượng bay bổng, các công trình lần lượt ra đời như vũ bão.

Trong tác phẩm Brahmasputha Siddhanta đã nói trên, Brahmagupta đã chỉ ra được một số tính chất đẹp mang tính cơ sở của số 0, ngoại trừ tính chất “0 chia 0 bằng 0”, là tính chất mà toán học hiện đại không đồng ý, bởi vì, “0 chia 0 thì không được xác định”. Cho đến nay, ta biết rằng, nhờ số 0, ta định nghĩa được các số nguyên âm, và từ đó, dẫn đến các tập hữu tỉ, thực, phức, nghĩa là toàn bộ các tập hợp số. 
 
Số 0 và vô tận trở thành hai khái niệm đối ngẫu, trên cơ sở, một số hữu hạn chia cho một đại lượng tiến dần đến 0 thì trở thành đại lượng tiến dần ra vô tận (âm hoặc dương).Trong một cách tiếp cận luận thuyết Tánh Không, ta biết rằng, cái không có gì lại hàm chứa cả vô biên. Quả táo rơi ư? Bằng quá nhiều nguyên nhân, mà quả táo tựu thành, bởi có những hoa táo không thành trái ngọt do không thụ phấn, hoặc bởi một cơn trở trời bất thuận, nó đành phải bay vào hư không rồi tan thành từng mảnh nhỏ, chẳng để lại dấu vết gì. Nhưng bởi sự ngẫu hợp của nhiều tác nhân, quả táo đã hình thành. 
 
Từng quả táo đã đi vào đời sống này theo nhiều thể điệu dâng tặng khác nhau, hoặc là món quà làm đẹp trong phòng khách, hoặc trở thành dưỡng chất của loài người, hoặc biến thành thứ rượu ngọt trần gian với khả năng dẫn đến chiến tranh, sáng tạo hoặc tình huynh đệ. Rồi một ngày kia, quả táo xuất hiện trong cái nhìn đăm đăm sâu thẳm của nhà bác học Newton. Cũng chỉ là những quả táo thôi, nhưng bằng chiêm nghiệm lặp đi lặp lại của nhà bác học, quả táo lại trở thành tác nhân khơi mở một thế giới tràn trề. Ấy là, định luật về trọng trường ra đời, đặt cơ sở cho những thành tựu khoa học vĩ đại mà nhân loại phải mang ơn.

Số 0, cái không tồn tại, đem chia cho 0, nghĩa là chia đều cho cái không có gì, thì trở thành cái bất khả tri (không xác định). Tuy nhiên, khi các định nghĩa và tính chất của Giới hạn trong Giải tích học phát triển (vào thế kỉ 18), thì cái không chia không kia tùy nơi, tùy lúc mà trở thành một giá trị hữu hạn nào đó, hoặc thậm chí, là giá trị vô hạn. Hoàn toàn có lý do khi Ankur Barua, trong một tiểu luận nhan đề “Applied Buddhism in Modern Mathematics – Phật giáo ứng dụng trong toán học hiện đại” –, sau khi tham khảo một số sách về lịch sử Toán học, đã viết: “Tánh Không luận của Nāgārjuna đã mở đường cho sự phát triển những khái niệm “không” và “vô hạn” trong toán học hiện đại”.

Số 0 trong toán học, ngay ký dạng tròn của nó đã thể hiện sự tròn đầy, trong toán học, nó kết hợp với 9 chữ số kia để tạo thành hệ thống số biểu diễn tất cả các số từ tự nhiên đến hữu tỉ, nó kết hợp với chữ số 1 để mã hóa tất cả các con số và câu lệnh trong máy tính, cùng với các quy luật của hệ nhị phân, tạo nên một thời kỳ sáng chói của liên lạc viễn thông, của khoa học vũ trụ, … Nó là căn bản, mang tính trung gian, mà nếu không có nó, các định nghĩa cho những tập hợp chứa tập hợp số nguyên dương sẽ không tựu thành. Không nhà toán học nào lại có thể tưởng tượng được trong toán học ngày nay lại thiếu vắng số 0, hoặc tập rỗng.

“Nên hiểu không là nhân Tạo thành nhất thiết pháp. Còn phủ nhận tánh Không, Là phủ nhận các pháp.” Từ không, lại có thể xây dựng lại cái có. Cái rỗng không là tự tính, nhưng nó được xây dựng thành cái có chính bởi sự tương quan cùng những cái không khác. Tập rỗng, là tập hợp không chứa phần tử nào cả, nhưng lại có thể xây dựng nên cơ sở của lí thuyết tập hợp. 
 
Để xây dựng lại tập hợp các số tự nhiên từ tập hợp rỗng, vào năm 1923, nhà toán học John von Neumann đã đề nghị một phương pháp sau đây: Bản số (cardinality) của một tập hợp là số phần tử của tập hợp đó. Một tập hợp có thể có bản số bằng 0, bản số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được hoặc vô hạn không đếm được. Theo John von Neumann, các con số, mà bản thân chúng được nhiều nhà khoa học nhìn nhận là ý niệm phi vật lý, được xây dựng lại một cách đệ quy như sau:

Số 0: Ø (tập rỗng);

Số 1: { Ø } (tập hợp chứa tập rỗng – bước xây dựng 1);

Số 2: { Ø, { Ø } } (tập hợp chứa 2 tập trước – bước xây dựng 2);

Số 3: { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø }}} (tập hợp chứa 3 tập trước – bước xây dựng 3);

Số 4: { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } }, { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } } } } (tập hợp chứa 4 tập trước – bước xây dựng 4);…

Quá trình này được lặp lại mãi mãi. Dãy này được xây dựng làm sinh ra các tập hợp có bản số là 0, 1, 2, 3, 4, v. v…. Nếu nói theo ngôn ngữ không toán học, có thể nói: Ta bắt đầu bằng sự trống rỗng, và tư duy về sự rỗng không đó. Hãy nghĩ đến cái có thể chứa trọn vẹn sự trống rỗng đó (bước 1). Và rồi, ta kết hợp giữa sự rỗng không với cái chứa sự rỗng không (bước 2), và cứ tiếp tục như thế. Rõ ràng là, chính sự quán tưởng đã làm nảy sinh ý niệm (tức là toán tử) tác động lên cái được quán tưởng.

Về mặt toán học, dãy được xây dựng đệ quy như trên đẳng cấu với tập hợp số tự nhiên đã được thừa nhận trước đó. Sự xây dựng đó còn đi xa hơn để tạo nên các cấu trúc toán học tưởng chừng như vắng mặt cả những con số – điều mà một người bình thường không tin nổi. Quả vậy, toán học hiện đại đã xây dựng những cấu trúc, những không gian tổng quát (tất nhiên, những không gian cũ mà học sinh trung học phổ thông được dạy phải là trường hợp riêng của những không gian này), đến nỗi, nhiều nhà phân tích triết học về toán học (Philosophy of Mathematics) đã gọi nó là “Toán học không con số”, chẳng hạn, Geoffrey Hellman với tác phẩm rất hay nhan đề “Mathematics without Numbers”(Oxford University Press, 1994).

Vấn đề trên của toán học cũng gợi cho ta nhớ lại rằng, mặc dù Śūnyam xuất hiện từ trước Tây lịch khá lâu tại Ấn Độ, nhưng chính Nāgārjuna đã phát triển và biến nó thành phong phú trong khái niệm Śūnyatā, ở đó, các yếu lí lời dạy của Đức Phật được diễn bày, mà nếu hiểu được thâm lý của nó ở một mức độ tương đối khá, nhà nghiên cứu sẽ thấy được bản chất của hiện hữu, trong khoa học, và trong đời sống.

Để kết thúc những tản mạn này trong mối liên hệ giữa số không và Śūnyatā, tôi xin mượn lời của thầy Tuệ Sỹ: “Một câu hỏi được đặt ra tất có mục đích muốn mở ra một chân trời mới cho tư tưởng. Tuy nhiên, bất cứ câu hỏi nào, như Long Thụ đã nói, nếu không được thiết lập trên thuyết tánh Không, thì nó đã đóng khung sẵn cho câu trả lời, và như thế, câu trả lời thực sự không trả lời gì cả”. 

Chú thích:
Algebra with Arithmetic of Brahmagupta and Bhaskara, bản dịch Anh ngữ của Henry Thomas Colebrooke, London,
Srinivasiengar, N. The History of Ancient   Indian Mathematics, Calcutta, World Press Private Ltd, 1967.

Long Thọ. Mūlamadhyamaka-kārikā (Căn Bản Trung Quán Luận Tụng, đoạn 14, phầm 24, Quán Tứ Thánh Đế), Sonam Nyima Chân Giác, Diệu Hạnh Giao Trinh dịch từ bản Anh ngữ của Wulstan Fletcher, có tham khảo từ ngữ dùng trong bản Hán dịch.

John von Neumann (1903 –1957), nhà Toán học sống tại Mỹ, gốc Do Thái sinh tại Hungary.

Tuệ Sỹ. Triết học về Tánh Không, Chương 3, An Tiêm,

Tạp Chí Văn Hóa Phật Giáo số 161
 
Gửi ý kiến của bạn
Tắt
Telex
VNI
Tên của bạn
Email của bạn
04/09/201818:42(Xem: 344)
Tu Tứ Đế Pháp, Bốn Chân Lý Chắc Thật, Đức Từ Phụ Thích Ca Mâu Ni Phật, sau khi Chứng Đạo dẹp tan sự quấy nhiễu của ma quân ở cõi Trời Tha hóa thứ sáu vào nửa đêm ngày mùng 8 tháng 2 năm Tân-Mùi. Việt lịch Năm 2256 HBK*. Tr.BC.596. Sau Thời Hoa Nghiêm Phật đến vườn Lộc Dã Uyển truyền dạy Bốn Pháp Tứ-Đế, độ cho năm vị từng theo Phật cùng tu thuở trước, thành bậc Tỳ Khưu đắc đạo. Năm vị đó là: 1/. A Nhã Kiều Trần Như, 2/. A-Thấp Bà, (Mã-thắng) , 3/ .Bạt-Đề, 4/. Ma-Ha-Nam, 5/. Thập-Lực-Ca-Diếp. Năm Vị nghe pháp Tứ Đế rồi, tu tập chứng A La Hớn Quả. Tứ Đế Pháp: 1. Khổ Đế. 2. Tập Đế. 3. Diệt Đế. 4. Đạo Đế. -Khổ Đế, là Ác quả của Tập Đế. -Tập Đế, là tạo Nhân xấu của Khổ Đế. -Diệt Đế, là Thiện quả của Đạo đế. -Đạo Đế, là Nhân tu của Diệt Đế.
13/08/201807:26(Xem: 420)
Các Phân Khoa Phật Giáo Thích Thái Hòa Tôi viết bài này, xin chia sẻ đến những ai muốn quan tâm đến lãnh vực giáo dục trong Phật giáo, nhưng chưa có điều kiện để nghiên cứu. Trong Phật giáo có năm phân khoa như sau: 1/ Phật giáo Đại chúng Thời Phật, xã hội Ấn Độ phân chia thành bốn giai cấp, gồm: - Bà-la-môn (Brāhmaṇa): Giai cấp Tăng lữ, giai cấp học giả của xã hội Ấn Độ bấy giờ. Họ tự nhận sinh ra từ miệng Phạm-thiên. Giai cấp này làm mai mối giữa thần linh với con người. Họ có sáu quyền hạn: Tự ý làm đền thờ trời; làm thầy tế để tế trời; tự ý đọc Phệ đà (veda); dạy người khác đọc Phệ đà (veda); tự bố thí và tự nhận sự bố thí.
03/06/201813:32(Xem: 869)
CHÁNH PHÁP Số 79, tháng 06.2018 NỘI DUNG SỐ NÀY:  THƯ TÒA SOẠN, trang 2  TIN TỨC PHẬT GIÁO THẾ GIỚI (Diệu Âm lược dịch), trang 3  THÁNG SÁU EM VỀ HẠ CHỨA CHAN (thơ Tiểu Lục Thần Phong), trang 7  CÚNG DƯỜNG CHÁNH PHÁP (Sa môn Thích Tín Nghĩa), trang 8
17/03/201815:48(Xem: 695)
Con người càng ngày càng đông đảo trên thế gian nhưng từ trước đến nay có được bao người giác ngộ, giải thoát khỏi nghiệp chướng, khổ đau? Cho dù, Phật Pháp có đơn giản, dễ dạy đến đâu nhưng khi mà nhân duyên chưa tới với những kẻ độn căn thì cho dù bồ tát có tái sinh, cố tâm chỉ độ pháp Phật cao siêu vi diệu cho nhân sinh còn đầy vô minh cũng chỉ tốn công vô ích, chẳng khác gì đem đàn gảy cho trâu nghe. Một trong những pháp môn đơn giản nhứt của Phật Pháp đó là thiền định (Zen). Zen khả dĩ có thể giúp cho hành giả giảm bớt căn thẳng tâm thần. Nếu luyện tập chuyên cần, Zen có khả năng giúp thân tâm có đủ sức mạnh lẫn nghị lực tinh thần để chuẩn bị đối phó với trở ngại xãy ra. Zen có thể giúp ta hóa giải tâm lý lúc mà đau khổ tái phát làm khổ tâm thân trong cuộc sống thay vì mong tu hành giác ngộ, giải thoát, thành Phật quá xa vời. Cũng như những pháp môn khác, Zen có mục đích giúp ta lúc “đa tâm bấn lo
14/03/201808:41(Xem: 762)
Sài Gòn- Trần Củng Sơn- Sáng ngày Thứ Sáu 9 tháng 3 năm 2018, giáo sư Vũ Thế Ngọc đã trình bày về triết học của Tổ sư Long Thọ tại chùa Xá Lợi Sài Gòn với sự tham dự khoảng một trăm thiện hữu tri thức Phật Giáo. Bác sĩ Đỗ Hồng Ngọc- một cây bút nổi tiếng trong nước về những bài viết về tuổi trẻ và Phật Giáo- đại diện Ban tổ chức giới thiệu diễn giả.
13/03/201809:06(Xem: 1176)
Từ lúc sinh ra, tất cả chúng ta muốn sống một đời sống hạnh phúc và đó là quyền của chúng ta. Tuy nhiên, nhiều người cùng chia sẻ quan điểm rằng hệ thốn giáo dục hiện hữu của chúng ta là không đầy đủ khi đi đến việc chuẩn bị cho con người yêu thương hơn – một trong những điều kiện để hạnh phúc. Như một người anh em nhân loại, tôi nguyện làm cho mọi người biết rằng tất cả chúng ta cùng sở hữu những hạt giống của từ ái và bi mẫn. Có một bộ não thông minh chưa đủ; vì chúng ta cũng cần một trái tim nhiệt tình
05/03/201819:40(Xem: 366)
Chân Thường Cuộc Sống Con Người! Thanh Quang Mỗi Con Người đều có Một Cuộc Sống- Cuộc Sống để Làm Người, nếu Con Người không có Ý Tâm- Cuộc Sống, Con người không thể Sống! Cuộc Sống Con Người, người ta thường phân ra Cuộc Sống Tinh thần Ý Tâm- Tâm Ý và Cuộc Sống Vật chất. Hai cuộc sống đó không thể tách rời nhau! Cái Thân Con Người ai cũng biết là duyên sinh giả hợp, tùy duyên theo luật sống Vô Thường-Sinh, Lão, Bệnh, Tử, không ai có thể sống hoài, sống mãi, vấn đề là Sống Với ai? Sống để làm gì? Sống như thế nào? Đời này và mai sau….
05/03/201815:09(Xem: 454)
Giọt móc cỏ đầu phơi Tâm vô sắc tướng, có tạm bất an nhưng sẽ trở lại tự tánh không. Sắc thân, sinh diệt vô thường như mộng như ảo ảnh. An nhiên quán tự tại trong hiện tại không sợ hãi thất bại, đau khổ hay tham cầu mong thành công, hạnh phúc. Để tự nó đến đi tự nhiên rồi thì sẽ có đầy đủ cả hai. Để rồi đau khổ trong khoái lạc hay khoái lạc trong khổ đau? Vạn vật, có không,vô thường như sương ban mai đọng trên đầu những ngọn cỏ trước vô môn quan chỉ hiện hữu thoáng qua như những dòng chảytrong tâm tưởng. Tóm lại, AI (không có chủ từ ở những câu trên) đang bận tâm đây?
05/03/201814:32(Xem: 884)
Lại có chút Ý Duyên-Duyên Ý với tác giả Lê Huy Trứ qua bài viết “Tâm Tạo-Lê Huy Trứ chúng tôi có một vài vấn đề trao đổi thêm về “Ý” -Con đường đạo pháp Phật Đà.(xem thêm:”Một vài Ý qua bài viết ”Thì cành Mai đã nở” của Minh Đức Triều Tâm Ảnh ) 1.Con Người là cuộc sống Ý Tâm -Tâm Ý -Ý Ngời. Con Người ai cũng có Tâm, Tâm là Cuộc sống Tâm Ý của Con Người. Con Người Sống là-Sống Ý Tâm,“-Ý làm chủ-Ý Tạo”. Tâm là tất cả Cuộc Sống Con Người Ý-cả Ý Vô Ngã Không-Ý Ánh sáng Ý và cả ý Phân biệt, ý khổ, ý nghiệp…., và cả Ý giải thoát…Tâm Không chưa phải là có Ý Giải thoát…..; Giải thoát là Ý Trung-Ý Huệ-Ý Giải thoát….
05/03/201809:56(Xem: 1123)
Khoa học kỷ thuật hiện đại đang dùng “Tâm ta” để sáng tạo robots với Artificial Intelligence (AI) trong những robots máy kia. Dĩ nhiên với suy nghĩ và hành động đơn phương độc đạo như người. Đây có thể là nhược điểm của nhân sinh mà chúng ta đã biết nhưng vẫn chưa cải tiến được. Điều mà chưa ai nghĩ tới đó là những bồ tát robots này chưa biết vô minh là gì cho nên chưa thật sự được con người viết super program và quantum software làm cho robots trở thành vô minh với tham sân si như là người phàm phu thật sự. Vì con người chưa đủ kiến thức, chưa đạt tới trình độ để biết language của vô minh, tham sân si và nhất là Tâm là cái gì để có thể nắm bắt rồi bỏ tất cả chúng nó vào não robots như là “AI” đó đã cố tâm hay vô tình, lầm lỡ bỏ những cái nghiệp quả báo hại đó vào thân xác của ta, rồi làm cho ta cứ ngỡ nhầm đó là “tâm ta ở trong thân ta.”