Tu Viện Quảng Đức105 Lynch Rd, Fawkner, Vic 3060. Australia. Tel: 9357 3544. quangduc@quangduc.com* Viện Chủ: TT Tâm Phương, Trụ Trì: TT Nguyên Tạng   
Bài mới nhất

Tản mạn về số Không

11/07/201021:53(Xem: 4871)
Tản mạn về số Không
phat_2 (11)
Có nhiều bài báo, nhiều công trình khảo cứu công phu viết về con số 0 cả từ thế kỷ trước sang đến thế kỷ này. Quả tình, đó là con số kì diệu. Có những câu hỏi tưởng chừng ngớ ngẩn, chẳng hạn, “số không có phải là con số?”, nhưng đó lại là câu hỏi gây nên những trả lời dị biệt, và ở mỗi khuynh hướng tiếp cận khác nhau, những câu trả lời khẳng hoặc phủ định đều có những hợp lý riêng của chúng. Thế nhưng, hầu như ngoài những nhà toán học thì chẳng mấy ai quan tâm đến con số không; có thể nói người ta đã không cần đến nó từ các nhu cầu bình nhật như cân đo đong đếm. 
 
Điều đó cũng tương tự như trường hợp “Tánh Không” của hiện hữu, là khái niệm khó lòng chấp nhận được đối với đại đa số, khi mà phần lớn những tầm cầu khảo sát làm nên văn minh nhân loại đã dựa vào cái có của hiện tượng. Ngay cả người Hy Lạp cổ xưa, nơi xuất phát nền văn minh phương Tây, họ vẫn không có khái niệm “số không”, mặc dù họ rất cần có một con số để chỉ sự vắng mặt của một số vật thể, hay đồ dùng nào đó.

Những khảo cứu gần đây đã chứng tỏ rằng ý niệm về số không (để diễn tả cái “không” hiện hữu) đã xuất hiện từ khá lâu trước Tây lịch, từ Ai Cập, hay từ Trung Quốc; tuy nhiên, rõ ràng nhất, là sự xuất hiện của số không với kí hiệu tròn (0) từ Ấn Độ, trong công trình của nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta, vào năm 628 (Brahmasputha Siddhanta – Sự Khơi Mở Vũ Trụ). Còn trước đó, người ta vẫn không thể xác nhận số 0 trong nền toán học Ấn Độ xuất hiện tự khi nào, mặc dù những xác chứng của ngành khảo cổ học đã cho thấy rằng từ năm 256 trước Tây lịch, số 0 và hệ thống số thập phân đã xuất hiện trên các văn bản bằng đá thời A-dục.

Từ Śūnyam xuất hiện trong các văn bản và trong toán học Ấn Độ khá lâu trước khi ngài Long Thọ (Nāgārjuna) nêu lên thuật ngữ Śūnyatā (Tánh Không) trong luận thuyết của mình. Tùy theo lúc, Śūnyam thường được dịch sang tiếng Anh bằng các từ như Void, Vacant, Empty mà ta có thể hiểu với hai nghĩa thông thường trong Việt ngữ là “giá trị bằng không”, hoặc “không có gì”.

Từ Śūnyam đến Śūnyatā (Tánh Không), người ta đã đi qua một lộ trình dằng dặc từ chỗ nghi ngờ sự hiện hữu đến khẳng định sự tồn tại của “không”, và từ đó, mở ra những chân trời bao la của ý niệm, những chân trời chỉ có thể tiếp cận theo nhiều hướng khác nhau, nhưng không thể một lần nói hết. Ngày nay, Tánh Không luận đã nghiễm nhiên trở thành một luận thuyết đẹp và sâu đến nỗi những trí tuệ siêu việt luôn bị hấp dẫn và họ ngày càng khám phá ra biết bao huyền nhiệm trong mối tương ưng giữa luận thuyết và chiều sâu tâm hồn của những trí tuệ đó, cái chiều sâu không thể định danh, và sâu đến nỗi bất khả diễn bày. 
 
Cũng hoàn toàn tương tự như vậy, từ chỗ không có số 0, bất cần đến nó, nền văn minh Hy-La đã thực sự bị cuốn hút bởi số 0 đến từ phương Đông. Số 0 đó đã tồn tại theo nhiều kí dạng khác nhau, nhưng trải qua nhiều nghiên cứu, nó đã kết hợp với 9 chữ số từ 1 đến 9 để tạo ra một vũ trụ toán học muôn màu. Ngày nay, số 0, hoặc cái không có gì, lại không thể thiếu được cả trong Toán học thuần túy (Pure Mathematics) lẫn trong toán học ứng dụng (Applied Mathematics). Sau khi bị chinh phục bởi hệ thống số của người phương Đông, các nhà toán học phương Tây đã có đủ phương tiện để trí tưởng tượng bay bổng, các công trình lần lượt ra đời như vũ bão.

Trong tác phẩm Brahmasputha Siddhanta đã nói trên, Brahmagupta đã chỉ ra được một số tính chất đẹp mang tính cơ sở của số 0, ngoại trừ tính chất “0 chia 0 bằng 0”, là tính chất mà toán học hiện đại không đồng ý, bởi vì, “0 chia 0 thì không được xác định”. Cho đến nay, ta biết rằng, nhờ số 0, ta định nghĩa được các số nguyên âm, và từ đó, dẫn đến các tập hữu tỉ, thực, phức, nghĩa là toàn bộ các tập hợp số. 
 
Số 0 và vô tận trở thành hai khái niệm đối ngẫu, trên cơ sở, một số hữu hạn chia cho một đại lượng tiến dần đến 0 thì trở thành đại lượng tiến dần ra vô tận (âm hoặc dương).Trong một cách tiếp cận luận thuyết Tánh Không, ta biết rằng, cái không có gì lại hàm chứa cả vô biên. Quả táo rơi ư? Bằng quá nhiều nguyên nhân, mà quả táo tựu thành, bởi có những hoa táo không thành trái ngọt do không thụ phấn, hoặc bởi một cơn trở trời bất thuận, nó đành phải bay vào hư không rồi tan thành từng mảnh nhỏ, chẳng để lại dấu vết gì. Nhưng bởi sự ngẫu hợp của nhiều tác nhân, quả táo đã hình thành. 
 
Từng quả táo đã đi vào đời sống này theo nhiều thể điệu dâng tặng khác nhau, hoặc là món quà làm đẹp trong phòng khách, hoặc trở thành dưỡng chất của loài người, hoặc biến thành thứ rượu ngọt trần gian với khả năng dẫn đến chiến tranh, sáng tạo hoặc tình huynh đệ. Rồi một ngày kia, quả táo xuất hiện trong cái nhìn đăm đăm sâu thẳm của nhà bác học Newton. Cũng chỉ là những quả táo thôi, nhưng bằng chiêm nghiệm lặp đi lặp lại của nhà bác học, quả táo lại trở thành tác nhân khơi mở một thế giới tràn trề. Ấy là, định luật về trọng trường ra đời, đặt cơ sở cho những thành tựu khoa học vĩ đại mà nhân loại phải mang ơn.

Số 0, cái không tồn tại, đem chia cho 0, nghĩa là chia đều cho cái không có gì, thì trở thành cái bất khả tri (không xác định). Tuy nhiên, khi các định nghĩa và tính chất của Giới hạn trong Giải tích học phát triển (vào thế kỉ 18), thì cái không chia không kia tùy nơi, tùy lúc mà trở thành một giá trị hữu hạn nào đó, hoặc thậm chí, là giá trị vô hạn. Hoàn toàn có lý do khi Ankur Barua, trong một tiểu luận nhan đề “Applied Buddhism in Modern Mathematics – Phật giáo ứng dụng trong toán học hiện đại” –, sau khi tham khảo một số sách về lịch sử Toán học, đã viết: “Tánh Không luận của Nāgārjuna đã mở đường cho sự phát triển những khái niệm “không” và “vô hạn” trong toán học hiện đại”.

Số 0 trong toán học, ngay ký dạng tròn của nó đã thể hiện sự tròn đầy, trong toán học, nó kết hợp với 9 chữ số kia để tạo thành hệ thống số biểu diễn tất cả các số từ tự nhiên đến hữu tỉ, nó kết hợp với chữ số 1 để mã hóa tất cả các con số và câu lệnh trong máy tính, cùng với các quy luật của hệ nhị phân, tạo nên một thời kỳ sáng chói của liên lạc viễn thông, của khoa học vũ trụ, … Nó là căn bản, mang tính trung gian, mà nếu không có nó, các định nghĩa cho những tập hợp chứa tập hợp số nguyên dương sẽ không tựu thành. Không nhà toán học nào lại có thể tưởng tượng được trong toán học ngày nay lại thiếu vắng số 0, hoặc tập rỗng.

“Nên hiểu không là nhân Tạo thành nhất thiết pháp. Còn phủ nhận tánh Không, Là phủ nhận các pháp.” Từ không, lại có thể xây dựng lại cái có. Cái rỗng không là tự tính, nhưng nó được xây dựng thành cái có chính bởi sự tương quan cùng những cái không khác. Tập rỗng, là tập hợp không chứa phần tử nào cả, nhưng lại có thể xây dựng nên cơ sở của lí thuyết tập hợp. 
 
Để xây dựng lại tập hợp các số tự nhiên từ tập hợp rỗng, vào năm 1923, nhà toán học John von Neumann đã đề nghị một phương pháp sau đây: Bản số (cardinality) của một tập hợp là số phần tử của tập hợp đó. Một tập hợp có thể có bản số bằng 0, bản số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được hoặc vô hạn không đếm được. Theo John von Neumann, các con số, mà bản thân chúng được nhiều nhà khoa học nhìn nhận là ý niệm phi vật lý, được xây dựng lại một cách đệ quy như sau:

Số 0: Ø (tập rỗng);

Số 1: { Ø } (tập hợp chứa tập rỗng – bước xây dựng 1);

Số 2: { Ø, { Ø } } (tập hợp chứa 2 tập trước – bước xây dựng 2);

Số 3: { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø }}} (tập hợp chứa 3 tập trước – bước xây dựng 3);

Số 4: { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } }, { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } } } } (tập hợp chứa 4 tập trước – bước xây dựng 4);…

Quá trình này được lặp lại mãi mãi. Dãy này được xây dựng làm sinh ra các tập hợp có bản số là 0, 1, 2, 3, 4, v. v…. Nếu nói theo ngôn ngữ không toán học, có thể nói: Ta bắt đầu bằng sự trống rỗng, và tư duy về sự rỗng không đó. Hãy nghĩ đến cái có thể chứa trọn vẹn sự trống rỗng đó (bước 1). Và rồi, ta kết hợp giữa sự rỗng không với cái chứa sự rỗng không (bước 2), và cứ tiếp tục như thế. Rõ ràng là, chính sự quán tưởng đã làm nảy sinh ý niệm (tức là toán tử) tác động lên cái được quán tưởng.

Về mặt toán học, dãy được xây dựng đệ quy như trên đẳng cấu với tập hợp số tự nhiên đã được thừa nhận trước đó. Sự xây dựng đó còn đi xa hơn để tạo nên các cấu trúc toán học tưởng chừng như vắng mặt cả những con số – điều mà một người bình thường không tin nổi. Quả vậy, toán học hiện đại đã xây dựng những cấu trúc, những không gian tổng quát (tất nhiên, những không gian cũ mà học sinh trung học phổ thông được dạy phải là trường hợp riêng của những không gian này), đến nỗi, nhiều nhà phân tích triết học về toán học (Philosophy of Mathematics) đã gọi nó là “Toán học không con số”, chẳng hạn, Geoffrey Hellman với tác phẩm rất hay nhan đề “Mathematics without Numbers”(Oxford University Press, 1994).

Vấn đề trên của toán học cũng gợi cho ta nhớ lại rằng, mặc dù Śūnyam xuất hiện từ trước Tây lịch khá lâu tại Ấn Độ, nhưng chính Nāgārjuna đã phát triển và biến nó thành phong phú trong khái niệm Śūnyatā, ở đó, các yếu lí lời dạy của Đức Phật được diễn bày, mà nếu hiểu được thâm lý của nó ở một mức độ tương đối khá, nhà nghiên cứu sẽ thấy được bản chất của hiện hữu, trong khoa học, và trong đời sống.

Để kết thúc những tản mạn này trong mối liên hệ giữa số không và Śūnyatā, tôi xin mượn lời của thầy Tuệ Sỹ: “Một câu hỏi được đặt ra tất có mục đích muốn mở ra một chân trời mới cho tư tưởng. Tuy nhiên, bất cứ câu hỏi nào, như Long Thụ đã nói, nếu không được thiết lập trên thuyết tánh Không, thì nó đã đóng khung sẵn cho câu trả lời, và như thế, câu trả lời thực sự không trả lời gì cả”. 

Chú thích:
Algebra with Arithmetic of Brahmagupta and Bhaskara, bản dịch Anh ngữ của Henry Thomas Colebrooke, London,
Srinivasiengar, N. The History of Ancient   Indian Mathematics, Calcutta, World Press Private Ltd, 1967.

Long Thọ. Mūlamadhyamaka-kārikā (Căn Bản Trung Quán Luận Tụng, đoạn 14, phầm 24, Quán Tứ Thánh Đế), Sonam Nyima Chân Giác, Diệu Hạnh Giao Trinh dịch từ bản Anh ngữ của Wulstan Fletcher, có tham khảo từ ngữ dùng trong bản Hán dịch.

John von Neumann (1903 –1957), nhà Toán học sống tại Mỹ, gốc Do Thái sinh tại Hungary.

Tuệ Sỹ. Triết học về Tánh Không, Chương 3, An Tiêm,

Tạp Chí Văn Hóa Phật Giáo số 161
 
Gửi ý kiến của bạn
Tắt
Telex
VNI
Tên của bạn
Email của bạn
27/09/201009:23(Xem: 1171)
“Sự vô thường, tuổi già và bệnh tật không bao giờ hứa hẹn với chúng ta. Chúng có thể đến bất cứ lúc nào mà không một lời báo trước. Bởi vì cuộc sống là vô thường, nên chúng ta không biết chắc rằng chúng ta có còn sống ở sát-na kế tiếp hay không. Nếu một tai nạn xảy đến, chúng ta sẽ biến mất khỏi thế giới này ngay tức khắc. Mạng sống của chúng ta ví như hạt sương đọng lại trên đầu ngọn cỏ trong buổi sáng mùa xuân. Nó sẽ bị tan biến ngay khi ánh mặt trời ló dạng. Những ý niệm của chúng ta thay đổi rất nhanh trong từng sát-na. Thời gian rất ngắn ngủi. Nó chỉ kéo dài trong một sát-na (kṣaṇa), giống như hơi thở. Nếu chúng ta thở vào mà không thở ra, chúng ta sẽ chết”. Đấy là bài học học đầu tiên mà tôi học được từ thầy của mình cách đây 39 năm, vào cái ngày đầu tiên sau khi tôi trở thành một chú tiểu.
23/09/201016:08(Xem: 1863)
Duyên khởi có nghĩa là hết thảy hiện tượng đều do nhân duyên mà phát sinh, liên quan mật thiết với nhau, nương vào nhau mà tồn tại. Nói theo thuật ngữ Phật giáo thời “tất cả pháp là vô thường, vạn vật vô ngã, hết thảy đều không”. “Không” có nghĩa là “vô tự tính”, không có yếu tính quyết định. Với lời tuyên thuyết của Bồ tát Long Thọ: “Các pháp do duyên khởi nên ta nói là Không” (Trung luận, XXIV.18), đa số học giả sử dụng Không và Duyên khởi như đồng nghĩa.
22/09/201010:10(Xem: 2005)
Giáo Pháp Tứ Y trong đạo Phật là giáo lý nói về 4 phương phápthực tập sự nương tựa (y cứ) dẫn đến giác ngộ, giải thoát. Bốn phươngpháp thực tập sự nương tựa này không phải là một hành vi gì cao siêu,hoặc phải “tu luyện” lâu xa, mà chỉ là những hành vi rất thường nhật như đói ăn, khát uống… nhưng nó cũng là một trong những thiện pháp nuôi lớn phúc đức và trí tuệ cho mỗi con người, đem đến sự an lạc thântâm, cũng từ đó cảm hoá được quần chúng ở mọi lúc, mọi nơi... Phải biết gạn đục, khơi trong. Đừng lẫn lộn giữa Pháp và người giảng Pháp, bởi “Pháp” chính là Đạo: giảng Pháp là giảng Đạo. Ta nghe Pháp để “thấy” đạo...
18/09/201006:54(Xem: 846)
Khi mỗi cá nhân có cái nhìn chánh tri kiến trong vấn đề giới tính, ắt hẳn họ sẽ xây dựng một gia đình tốt đẹp. Mỗi gia đình đều có một đời sống như vậy sẽ góp phần thiết lập đời sống hạnh phúc cho toàn xã hội, cho mỗi quốc gia dân tộc.
11/09/201016:35(Xem: 890)
Phác họa “Chân Như duyên khởi” Chân Như duyên khởi là một “học thuyết” có mặt trong hầu hết các tông phái Đại thừa như Không tông (Trung Quán, Trung Đạo), Duy Thức tông, Hoa Nghiêm tông, Thiên Thai tông, Mật tông… Sở dĩ chúng ta dùng chữ “học thuyết”, như một lý thuyết triết học, vì khi chỉ nghiên cứu trên bình diện tư tưởng và khái niệm - và đó là việc chúng ta đang làm - thì nó là một học thuyết (chân lý tương đối, tục đế). Còn ngày nào chúng ta thật sự thể nghiệm được Chân Như thì đó không còn là một học thuyết, một ngón tay chỉ mặt trăng, mà đó chính là chân lý tuyệt đối, chân đế, là chính mặt trăng.
10/09/201007:43(Xem: 23124)
Một cuộc đời một vầng nhật nguyệt (quyển 3) Vào thời không có đức Phật Chánh Đẳng Giác ra đời, tại vùng Allakappa bị dịch bệnh hoành hành, lây lan từ người này sang người khác, nhà này sang nhà khác làm cho rất nhiều người chết, đói kém xảy ra khắp nơi. Những người còn mạnh khỏe, chưa bị lây nhiễm
08/09/201015:07(Xem: 864)
Thế giới có thể vượt qua cực điểm của nó rất nhanh trong tương lai gần đây và đi ngang qua điều không thể tránh những sự tác động to lớn trong tương lai lên loài người và những sự sống khác trên hành tinh. Ai sẽ chịu trách nhiệm thực sự hay trách nhiệm đạo đức? Những nhà khoa học? Phương tiện truyền thông? Những sự quan tâm đặc biệt? Những nhà chính trị? Công luận ngày nay? Con cái hay cháu chắt chúng ta? Ai sẽ phải trả giá này?
06/09/201015:16(Xem: 1544)
“Trước sự Nô Lệ của Con Người” là nhan đề chúng tôi dùng để gọi tập sách này, gồm những bài viết và những bài thảo luận quan trọng mà chúng tôi đã trình bày trong những hội nghị quốc tế và quốc nội. Những vấn đề đặt ra trong tập sách đều nhắm vào một trọng tâm độc nhất: tìm lại con đường của văn hoá Việt Nam trước sự nô lệ của con người để khai quan một chân trời cho ý thức tự do của nhân tính
04/09/201017:49(Xem: 2764)
Cư sĩ Trần Tuấn Mẫn, nhà nghiên cứu và giảng dạy Phật học đã viết: « Chúng tôi là kẻ hậu học, tuy kiến thức chữ nghĩa và thực lực hành trì chẳng bao nhiêu, cũng đem hết sức mình dịch cuốn Vô Môn Quan này ra Việt ngữ, gọi là để đóng góp vào công cuộc chấn hưng Thiền học hiện nay. »
28/08/201017:20(Xem: 20547)
Quyển 6 • Buổi Pháp Thoại Trên Đỉnh Cao Linh Thứu (Gijjhakūṭa) • Ruộng Phước • Tuệ Phân Tích Của Tôn Giả Sāriputta • MÙA AN CƯ THỨ MƯỜI CHÍN (Năm 569 trước TL)- Mỹ Nhân Giá Mấy Xu? • Chuyện Cô Sirimā • Móc Cho Con Mắt Đẹp • Ngạ Quỷ Mình Trăn • Cùng Một Nguyên Lý • “Hớt” Phước Của Người Nghèo! • Ghi chú đặc biệt về hạ thứ 19: • MÙA AN CƯ THỨ HAI MƯƠI (Năm 568 trước TL)-Phước Cho Quả Hiện Tại • Bảy Thánh Sản • Chuyện Kể Về Cõi Trời • Hóa Độ Gia Đình Thợ Săn • Nhân Duyên Quá Khứ