Tu Viện Quảng Đức105 Lynch Rd, Fawkner, Vic 3060. Australia. Tel: 9357 3544. quangduc@quangduc.com* Viện Chủ: TT Tâm Phương, Trụ Trì: TT Nguyên Tạng   
Bài mới nhất

Tản mạn về số Không

11/07/201021:53(Xem: 5197)
Tản mạn về số Không
phat_2 (11)
Có nhiều bài báo, nhiều công trình khảo cứu công phu viết về con số 0 cả từ thế kỷ trước sang đến thế kỷ này. Quả tình, đó là con số kì diệu. Có những câu hỏi tưởng chừng ngớ ngẩn, chẳng hạn, “số không có phải là con số?”, nhưng đó lại là câu hỏi gây nên những trả lời dị biệt, và ở mỗi khuynh hướng tiếp cận khác nhau, những câu trả lời khẳng hoặc phủ định đều có những hợp lý riêng của chúng. Thế nhưng, hầu như ngoài những nhà toán học thì chẳng mấy ai quan tâm đến con số không; có thể nói người ta đã không cần đến nó từ các nhu cầu bình nhật như cân đo đong đếm. 
 
Điều đó cũng tương tự như trường hợp “Tánh Không” của hiện hữu, là khái niệm khó lòng chấp nhận được đối với đại đa số, khi mà phần lớn những tầm cầu khảo sát làm nên văn minh nhân loại đã dựa vào cái có của hiện tượng. Ngay cả người Hy Lạp cổ xưa, nơi xuất phát nền văn minh phương Tây, họ vẫn không có khái niệm “số không”, mặc dù họ rất cần có một con số để chỉ sự vắng mặt của một số vật thể, hay đồ dùng nào đó.

Những khảo cứu gần đây đã chứng tỏ rằng ý niệm về số không (để diễn tả cái “không” hiện hữu) đã xuất hiện từ khá lâu trước Tây lịch, từ Ai Cập, hay từ Trung Quốc; tuy nhiên, rõ ràng nhất, là sự xuất hiện của số không với kí hiệu tròn (0) từ Ấn Độ, trong công trình của nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta, vào năm 628 (Brahmasputha Siddhanta – Sự Khơi Mở Vũ Trụ). Còn trước đó, người ta vẫn không thể xác nhận số 0 trong nền toán học Ấn Độ xuất hiện tự khi nào, mặc dù những xác chứng của ngành khảo cổ học đã cho thấy rằng từ năm 256 trước Tây lịch, số 0 và hệ thống số thập phân đã xuất hiện trên các văn bản bằng đá thời A-dục.

Từ Śūnyam xuất hiện trong các văn bản và trong toán học Ấn Độ khá lâu trước khi ngài Long Thọ (Nāgārjuna) nêu lên thuật ngữ Śūnyatā (Tánh Không) trong luận thuyết của mình. Tùy theo lúc, Śūnyam thường được dịch sang tiếng Anh bằng các từ như Void, Vacant, Empty mà ta có thể hiểu với hai nghĩa thông thường trong Việt ngữ là “giá trị bằng không”, hoặc “không có gì”.

Từ Śūnyam đến Śūnyatā (Tánh Không), người ta đã đi qua một lộ trình dằng dặc từ chỗ nghi ngờ sự hiện hữu đến khẳng định sự tồn tại của “không”, và từ đó, mở ra những chân trời bao la của ý niệm, những chân trời chỉ có thể tiếp cận theo nhiều hướng khác nhau, nhưng không thể một lần nói hết. Ngày nay, Tánh Không luận đã nghiễm nhiên trở thành một luận thuyết đẹp và sâu đến nỗi những trí tuệ siêu việt luôn bị hấp dẫn và họ ngày càng khám phá ra biết bao huyền nhiệm trong mối tương ưng giữa luận thuyết và chiều sâu tâm hồn của những trí tuệ đó, cái chiều sâu không thể định danh, và sâu đến nỗi bất khả diễn bày. 
 
Cũng hoàn toàn tương tự như vậy, từ chỗ không có số 0, bất cần đến nó, nền văn minh Hy-La đã thực sự bị cuốn hút bởi số 0 đến từ phương Đông. Số 0 đó đã tồn tại theo nhiều kí dạng khác nhau, nhưng trải qua nhiều nghiên cứu, nó đã kết hợp với 9 chữ số từ 1 đến 9 để tạo ra một vũ trụ toán học muôn màu. Ngày nay, số 0, hoặc cái không có gì, lại không thể thiếu được cả trong Toán học thuần túy (Pure Mathematics) lẫn trong toán học ứng dụng (Applied Mathematics). Sau khi bị chinh phục bởi hệ thống số của người phương Đông, các nhà toán học phương Tây đã có đủ phương tiện để trí tưởng tượng bay bổng, các công trình lần lượt ra đời như vũ bão.

Trong tác phẩm Brahmasputha Siddhanta đã nói trên, Brahmagupta đã chỉ ra được một số tính chất đẹp mang tính cơ sở của số 0, ngoại trừ tính chất “0 chia 0 bằng 0”, là tính chất mà toán học hiện đại không đồng ý, bởi vì, “0 chia 0 thì không được xác định”. Cho đến nay, ta biết rằng, nhờ số 0, ta định nghĩa được các số nguyên âm, và từ đó, dẫn đến các tập hữu tỉ, thực, phức, nghĩa là toàn bộ các tập hợp số. 
 
Số 0 và vô tận trở thành hai khái niệm đối ngẫu, trên cơ sở, một số hữu hạn chia cho một đại lượng tiến dần đến 0 thì trở thành đại lượng tiến dần ra vô tận (âm hoặc dương).Trong một cách tiếp cận luận thuyết Tánh Không, ta biết rằng, cái không có gì lại hàm chứa cả vô biên. Quả táo rơi ư? Bằng quá nhiều nguyên nhân, mà quả táo tựu thành, bởi có những hoa táo không thành trái ngọt do không thụ phấn, hoặc bởi một cơn trở trời bất thuận, nó đành phải bay vào hư không rồi tan thành từng mảnh nhỏ, chẳng để lại dấu vết gì. Nhưng bởi sự ngẫu hợp của nhiều tác nhân, quả táo đã hình thành. 
 
Từng quả táo đã đi vào đời sống này theo nhiều thể điệu dâng tặng khác nhau, hoặc là món quà làm đẹp trong phòng khách, hoặc trở thành dưỡng chất của loài người, hoặc biến thành thứ rượu ngọt trần gian với khả năng dẫn đến chiến tranh, sáng tạo hoặc tình huynh đệ. Rồi một ngày kia, quả táo xuất hiện trong cái nhìn đăm đăm sâu thẳm của nhà bác học Newton. Cũng chỉ là những quả táo thôi, nhưng bằng chiêm nghiệm lặp đi lặp lại của nhà bác học, quả táo lại trở thành tác nhân khơi mở một thế giới tràn trề. Ấy là, định luật về trọng trường ra đời, đặt cơ sở cho những thành tựu khoa học vĩ đại mà nhân loại phải mang ơn.

Số 0, cái không tồn tại, đem chia cho 0, nghĩa là chia đều cho cái không có gì, thì trở thành cái bất khả tri (không xác định). Tuy nhiên, khi các định nghĩa và tính chất của Giới hạn trong Giải tích học phát triển (vào thế kỉ 18), thì cái không chia không kia tùy nơi, tùy lúc mà trở thành một giá trị hữu hạn nào đó, hoặc thậm chí, là giá trị vô hạn. Hoàn toàn có lý do khi Ankur Barua, trong một tiểu luận nhan đề “Applied Buddhism in Modern Mathematics – Phật giáo ứng dụng trong toán học hiện đại” –, sau khi tham khảo một số sách về lịch sử Toán học, đã viết: “Tánh Không luận của Nāgārjuna đã mở đường cho sự phát triển những khái niệm “không” và “vô hạn” trong toán học hiện đại”.

Số 0 trong toán học, ngay ký dạng tròn của nó đã thể hiện sự tròn đầy, trong toán học, nó kết hợp với 9 chữ số kia để tạo thành hệ thống số biểu diễn tất cả các số từ tự nhiên đến hữu tỉ, nó kết hợp với chữ số 1 để mã hóa tất cả các con số và câu lệnh trong máy tính, cùng với các quy luật của hệ nhị phân, tạo nên một thời kỳ sáng chói của liên lạc viễn thông, của khoa học vũ trụ, … Nó là căn bản, mang tính trung gian, mà nếu không có nó, các định nghĩa cho những tập hợp chứa tập hợp số nguyên dương sẽ không tựu thành. Không nhà toán học nào lại có thể tưởng tượng được trong toán học ngày nay lại thiếu vắng số 0, hoặc tập rỗng.

“Nên hiểu không là nhân Tạo thành nhất thiết pháp. Còn phủ nhận tánh Không, Là phủ nhận các pháp.” Từ không, lại có thể xây dựng lại cái có. Cái rỗng không là tự tính, nhưng nó được xây dựng thành cái có chính bởi sự tương quan cùng những cái không khác. Tập rỗng, là tập hợp không chứa phần tử nào cả, nhưng lại có thể xây dựng nên cơ sở của lí thuyết tập hợp. 
 
Để xây dựng lại tập hợp các số tự nhiên từ tập hợp rỗng, vào năm 1923, nhà toán học John von Neumann đã đề nghị một phương pháp sau đây: Bản số (cardinality) của một tập hợp là số phần tử của tập hợp đó. Một tập hợp có thể có bản số bằng 0, bản số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được hoặc vô hạn không đếm được. Theo John von Neumann, các con số, mà bản thân chúng được nhiều nhà khoa học nhìn nhận là ý niệm phi vật lý, được xây dựng lại một cách đệ quy như sau:

Số 0: Ø (tập rỗng);

Số 1: { Ø } (tập hợp chứa tập rỗng – bước xây dựng 1);

Số 2: { Ø, { Ø } } (tập hợp chứa 2 tập trước – bước xây dựng 2);

Số 3: { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø }}} (tập hợp chứa 3 tập trước – bước xây dựng 3);

Số 4: { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } }, { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } } } } (tập hợp chứa 4 tập trước – bước xây dựng 4);…

Quá trình này được lặp lại mãi mãi. Dãy này được xây dựng làm sinh ra các tập hợp có bản số là 0, 1, 2, 3, 4, v. v…. Nếu nói theo ngôn ngữ không toán học, có thể nói: Ta bắt đầu bằng sự trống rỗng, và tư duy về sự rỗng không đó. Hãy nghĩ đến cái có thể chứa trọn vẹn sự trống rỗng đó (bước 1). Và rồi, ta kết hợp giữa sự rỗng không với cái chứa sự rỗng không (bước 2), và cứ tiếp tục như thế. Rõ ràng là, chính sự quán tưởng đã làm nảy sinh ý niệm (tức là toán tử) tác động lên cái được quán tưởng.

Về mặt toán học, dãy được xây dựng đệ quy như trên đẳng cấu với tập hợp số tự nhiên đã được thừa nhận trước đó. Sự xây dựng đó còn đi xa hơn để tạo nên các cấu trúc toán học tưởng chừng như vắng mặt cả những con số – điều mà một người bình thường không tin nổi. Quả vậy, toán học hiện đại đã xây dựng những cấu trúc, những không gian tổng quát (tất nhiên, những không gian cũ mà học sinh trung học phổ thông được dạy phải là trường hợp riêng của những không gian này), đến nỗi, nhiều nhà phân tích triết học về toán học (Philosophy of Mathematics) đã gọi nó là “Toán học không con số”, chẳng hạn, Geoffrey Hellman với tác phẩm rất hay nhan đề “Mathematics without Numbers”(Oxford University Press, 1994).

Vấn đề trên của toán học cũng gợi cho ta nhớ lại rằng, mặc dù Śūnyam xuất hiện từ trước Tây lịch khá lâu tại Ấn Độ, nhưng chính Nāgārjuna đã phát triển và biến nó thành phong phú trong khái niệm Śūnyatā, ở đó, các yếu lí lời dạy của Đức Phật được diễn bày, mà nếu hiểu được thâm lý của nó ở một mức độ tương đối khá, nhà nghiên cứu sẽ thấy được bản chất của hiện hữu, trong khoa học, và trong đời sống.

Để kết thúc những tản mạn này trong mối liên hệ giữa số không và Śūnyatā, tôi xin mượn lời của thầy Tuệ Sỹ: “Một câu hỏi được đặt ra tất có mục đích muốn mở ra một chân trời mới cho tư tưởng. Tuy nhiên, bất cứ câu hỏi nào, như Long Thụ đã nói, nếu không được thiết lập trên thuyết tánh Không, thì nó đã đóng khung sẵn cho câu trả lời, và như thế, câu trả lời thực sự không trả lời gì cả”. 

Chú thích:
Algebra with Arithmetic of Brahmagupta and Bhaskara, bản dịch Anh ngữ của Henry Thomas Colebrooke, London,
Srinivasiengar, N. The History of Ancient   Indian Mathematics, Calcutta, World Press Private Ltd, 1967.

Long Thọ. Mūlamadhyamaka-kārikā (Căn Bản Trung Quán Luận Tụng, đoạn 14, phầm 24, Quán Tứ Thánh Đế), Sonam Nyima Chân Giác, Diệu Hạnh Giao Trinh dịch từ bản Anh ngữ của Wulstan Fletcher, có tham khảo từ ngữ dùng trong bản Hán dịch.

John von Neumann (1903 –1957), nhà Toán học sống tại Mỹ, gốc Do Thái sinh tại Hungary.

Tuệ Sỹ. Triết học về Tánh Không, Chương 3, An Tiêm,

Tạp Chí Văn Hóa Phật Giáo số 161
 
Gửi ý kiến của bạn
Tắt
Telex
VNI
Tên của bạn
Email của bạn
31/08/201017:56(Xem: 1128)
Môi sinh tương đối là một khoa học mới liên hệ đến nhiều nguyên lý điều hành các mối liên hệ giữa các sinh thể và Môi sinh. Có nhiều định nghĩa về Môi sinh. - đây chỉ đơn cử một số. P. D. Sharma (F.N.I.E., Ban (Khoa) Thực vật học, Đại học Delhi) đã viết trong tập sách của ông nhan đề "Sinh thái học và Môi sinh" rằng: "Ngày nay Sinh thái học đã và đang đóng góp rất nhiều cho các chính sách về xã hội, kinh tế, chính trị và các chính sách tương tự của thế giới. Thật rất phổ biến khi kiếm tìm các tham khảo về sinh thái học trong các bài viết, tạp chí, tuần báo và nhật báo về xã hội, kinh tế học.
30/08/201012:47(Xem: 1857)
Đức Phật có đề cập gì đến sinh hoạt kinh tế hay không. Khi theo dõi những hậu quả của kinh tế thị trường, tôi còn phải đi tìm hiểu lập trường của Phật giáo về các vấn đề môi sinh, nhất là đối với việc khai thác tài nguyên không tái tạo, thái độ đối với sự nghèo khổ (và những chế độ chính trị đưa đến nghèo khổ), đối với chủ trương tiêu thụ hàng hóa thả cửa, đối với công ăn việc làm, vai trò của từ bi trong các hoạt động thương mãi và cuối cùng đến một câu hỏi tối hậu mà mọi tôn giáo đều muốn có câu trả lời: ý nghĩa của đời sống là gì?
28/08/201017:20(Xem: 21813)
Quyển 6 • Buổi Pháp Thoại Trên Đỉnh Cao Linh Thứu (Gijjhakūṭa) • Ruộng Phước • Tuệ Phân Tích Của Tôn Giả Sāriputta • MÙA AN CƯ THỨ MƯỜI CHÍN (Năm 569 trước TL)- Mỹ Nhân Giá Mấy Xu? • Chuyện Cô Sirimā • Móc Cho Con Mắt Đẹp • Ngạ Quỷ Mình Trăn • Cùng Một Nguyên Lý • “Hớt” Phước Của Người Nghèo! • Ghi chú đặc biệt về hạ thứ 19: • MÙA AN CƯ THỨ HAI MƯƠI (Năm 568 trước TL)-Phước Cho Quả Hiện Tại • Bảy Thánh Sản • Chuyện Kể Về Cõi Trời • Hóa Độ Gia Đình Thợ Săn • Nhân Duyên Quá Khứ
28/08/201011:53(Xem: 25633)
Sau khi sinh hoạt của hội chúng đã tạm thời đi vào quy củ, nền nếp; đức Phật thấy thời tiết có nắng nhẹ, trời không lạnh lắm, thuận lợi cho việc du hành nên quyết định rời Gayāsīsa, đến kinh đô Rājagaha, đường xa chừng sáu do-tuần. Thấy đoàn sa-môn quá đông, khó khăn cho việc khất thực, đức Phật gợi ý với ba anh em Kassapa cho chúng đệ tử phân thành từng nhóm,
27/08/201021:54(Xem: 5314)
Theo quan kiến của các luận sư Phật học, kinh điển của Phật giáo Đại thừa, thì phần văn lý hàm chứa nhiều ý nghĩa sâu xa và linh hoạt như: các bộ Kinh Hoa Nghiêm, Duy Ma, Pháp Hoa… được xây dựng trên tinh thần phát triển nội dung nên giáo lý được phân định theo hai phần: Phương tiện môn và Chân thật môn. Về phương tiện môn, như có lần đức Phật ví pháp đó như nắm lá trong tay đã rời khỏi sự sống, còn sự hiểu biết và diệu dụng của Ngài như lá trong rừng luôn luôn xanh tươi, vận hành theo bốn mùa.
03/08/201007:54(Xem: 5424)
Mặc dù được xem như là một tôn giáo, thì Phật giáo vẫn là một trong các truyền thống tri kiến vĩ đại nhất của thế giới, được dựa trên cơ sở về trải nghiệm và lập luận hơn là việc tin tưởng không điều kiện vào thần quyền. Trong nhiều thế kỷ, đạo Phật đã đối thoại với các truyền thống khác ở châu Á như là Ấn giáo, Khổng giáo và Lão giáo, đó là các truyền thống vốn có các luận điểm riêng về thực tại. Nhưng đến kỷ nguyên mới này, thì sự thống trị lại thuộc về khoa học hiện đại vốn là một hệ thống truy cứu và tri kiến về thế giới tự nhiên một cách có lập luận, cho nên nếu muốn duy trì vị thế sẵn có như là một truyền thống thực nghiệm và tập luận truy cứu nghiêm cẩn, thì Phật giáo phải đối mặt với khoa học.
20/07/201007:26(Xem: 6941)
Với quyển Phật Pháp Cho Mọi Người, chúng tôi tương đối đã đạt được phần nào kết quả khi có thể mang những bài pháp thoại của nhiều tác giả đến với người đọc, nhất là những người sơ cơ như chúng tôi. Cũng đã ba năm kể từ quyển sách đó được phát hành, cũng đã có thêm nhiều bài pháp được chúng tôi chuyển ngữ. Theo sự gợi ý của một số thân hữu, lần này chúng tôi cũng xin tổng hợp các bài dịch rải rác đó đây để mang đến cho quý độc giả xa gần một luồng gió mát của chân Pháp. Mong là chúng tôi không phụ lòng mong đợi của quý độc giả. Dầu đã hết sức cố gắng, nhưng chúng tôi chắc rằng sẽ khó thể tránh những thiếu sót trong phần dịch thuật và biên tập, mong quý tôn sư, quý độc giả hoan hỷ chỉ bày. Lần nữa chúng tôi xin cảm tạ quý đạo hữu luôn chung tay với chúng tôi trong Phật sự này, để một số sách luôn đến tay quý độc giả dưới dạng ấn tống. Nguyện cho phước báu trong Pháp thí này được chia sẻ đến chư thiên, quý ân sư, quý ân nhân, đạo hữu, thân quyến và mọi chúng sanh. Na
18/07/201008:12(Xem: 5734)
Bất cứ người nào có nghiên cứu Phật học, có kiến thức về giáo lý đạo Phật như được ghi trong ba tạng kinh điển, đều thừa nhận đang có một khoảng cách lớn, phân biệt đạo Phật trong kinh điển (mà tôi tạm gọi là đạo Phật lý thuyết) với đạo Phật ở ngoài đời, trong cuộc sống thực tế. Đạo Phật lý thuyết là đạo Phật lý tưởng. Khoảng cách giữa lý tưởng và thực tế là chuyện tất nhiên và tất yếu. Bởi lẽ nếu không có khoảng cách đó giữa đạo Phật lý tưởng và đạo Phật thực tế thì mọi người chúng ta đều thành Phật cả rồi, và cõi đất này là cõi Phật rồi.
18/07/201003:29(Xem: 5343)
Chúng ta không ai không hấp thụ một nền giáo dục, hay ít ra tiếp nhận một hình thức giáo dục. Thế nhưng chắc chúng ta không khỏi lúng túng khi gặp câu hỏi bất ngờ như trên và khó trả lời ngay một cách vắn tắt trọn nghĩa và trôi chảy.
03/03/201009:28(Xem: 3839)
Cách đây hơn 25 thế kỷ, vào khoảng 560 năm trước "thời đại hoang mang" (560 BC): từ của LLoyd M. Graham trong cuốn Deceptions and Myths of the Bible), một nhân vật lịch sử với một tiểu sử rõ ràng đã sinh ra đời để mở đường cho chúng sinh thấy, giác ngộ và hội nhập cái biết và thấy của Phật (Khai, Thị, Ngộ, Nhập Phật tri kiến). Nhân vật lịch sử này chính là Thái Tử Tất Đạt Đa, con vua Tịnh Phạn ở miền Nam Népal ngày nay.